【名师导学】高考数学一轮复习 9.70轨迹与轨迹方程的求法课件理 湘教版.ppt

第70讲轨迹与轨迹方程的求法 学习目标 了解曲线与方程的概念 掌握求轨迹的一般程序和步骤 能熟练地运用直接法 定义法 代数法 参数法等方法求动点的轨迹方程 基础检测 1 已知两定点a 2 0 b 1 0 若动点p满足 pa 2 pb 则动点轨迹方程是 a x 2 2 y2 4b x 2 2 y2 4c x2 y 1 2 4d x 2 2 y 1 2 4 a c 3 已知动圆p与定圆c x 2 2 y2 1外切 又与定直线l x 1相切 则动圆圆心的轨迹方程是 y2 8x 解析 设p点到l的距离为d 依题设 pc d 1 从而点p到点c 2 0 的距离与到直线l x 2的距离相等 由抛物线的定义可得其方程为y2 8x x2 4 y 1 2 1 知识要点 1 曲线的方程 方程的曲线的定义如果曲线上的点与方程f x y 0的实数解建立了如下关系 1 曲线上的点的坐标 称曲线具备了纯粹性 2 以这个方程的解为坐标的点 称曲线具备了完备性 那么 我们就称曲线是方程的曲线 方程是曲线的方程 都是这个方程的解 都在曲线上 2 求曲线方程的步骤一般地 求曲线的方程的步骤如下 1 建系 建立平面直角坐标系 简称建系 设点 建立适当的直角坐标系后 设曲线上任一点m x y 2 列式 用坐标表示动点m的几何关系或等量关系 列出方程f x y 0 3 化简 化方程为f x y 0最简形式 4 证明或检查一致性 3 求轨迹方程的常用方法 1 直接法 题目中的条件有明显的等量关系 或者可以利用平面几何知识推出等量关系 列出含动点 x y 的解析式 2 定义法 分析题设几何条件 根据圆锥曲线的定义 判断轨迹是何种类型的曲线 直接求出该曲线的方程 3 代入法 如果轨迹动点p x y 依赖于另一动点q a b 而q a b 又在某已知曲线上 则可先列出关于x y a b的方程组 利用x y表示出a b 把a b代入已知曲线方程便得动点p的轨迹方程 4 参数法 如果轨迹动点p x y 的坐标之间的关系不易找到 也没有相关点可用时 可先考虑将x y用一个或几个参数来表示 消去参数得轨迹方程 参数法中常选角 斜率等为参数 4 轨迹 与 轨迹方程 的区别与联系 一般说来 若是 求轨迹方程 求得方程就可以了 若是 求轨迹 求得方程还不够 还应指出方程所表示的曲线的类型 轨迹与轨迹方程是两个有相关性的不同概念 点评 依题设可知动点所满足的关系式时 求其轨迹一般应用直接法 动点所满足的关系式是指直接给出几何关系式 向量关系 或者隐含在题设条件中需要探究出所对应的关系 点评 在探究动点所满足的关系时 应注意充分利用其几何性质 得到几何关系后 一定要分析其是否满足圆锥曲线的定义 若满足 则应用定义法求其轨迹方程 三 坐标代入法和参数法及应用例3设点a b是抛物线y2 4x上不同于原点的两动点 已知oa ob oc ab 点c在ab上 1 求点c的轨迹e的方程 2 过点 1 0 的直线l1 l2满足l1 l2 且l1 l2与轨迹e的交点分别是m n p q 求四边形mpnq面积的最大值 点评 坐标代入法有直接型和间接型两类 本例 1 的方法是间接型坐标代入法求轨迹方程 对运算求解方程要求较高 应用参数法求轨迹时 关键是分析动点的运动因素是什么 依此适当引入参量 1 求曲线的方程是解析几何主要研究的两类问题之一 要注意求轨迹与求轨迹方程的区别 求轨迹不仅要求方程 而且还需说明所求轨迹是什么样的图形 即图形的形状 位置 2 求轨迹应注意的问题 1 直接法是求轨迹方程的基本方法 定义法求轨迹的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义 灵活应用定义 用代入法即相关点法求轨迹的关键是寻求关系式 x0 f x y y0 g x y 然后代入已知曲线 而求对称曲线 轴对称 中心对称等 方程实质上也是用代入法 相关点法 解题 2 无论用哪种方法求轨迹方程 都应注意轨迹方程的完备性和纯粹性 求出的轨迹方程中若有的解不符合轨迹条件 从而使轨迹图形上有不符合轨迹条件的点存在 则该方程及其曲线不满足纯粹性 求出的轨迹方程所表示的曲线若不是所有适合条件的点的集合 即曲线之外还有适合条件的点存在 则该方程及其曲线不满足完备性 求解轨迹问题时要避免轨迹方程不满足纯粹性和完备性的错误 3 用几何法求轨迹 常能减少大量的计算 事半功倍 挖掘图形的几何属性 建立适当的等量关系 然后联系有关的定义 发展有用的条件 从而简化计算 这是解题的关键 命题立意 本题考查直线与抛物线方程 平面向量运算 动点的轨迹方程等基本知识 考查转化归纳思想和运算求解能力 b 2 已知动点p在曲线2x2 y 0上移动 则点a 0 1 与点p连线中点的轨迹方程是 a y 2x2b