【名师导学】高考数学一轮复习 9.63两条直线的位置关系与对称问题课件理 湘教版.ppt

第63讲两条直线的位置关系与对称问题 学习目标 1 掌握两直线平行 垂直 相交的条件 能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行 垂直的条件解决有关问题 2 掌握中心对称 轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法 并能利用图形的对称性解决有关问题 基础检测 d 2 实数a 0是直线x 2ay 1 0和2x 2ay 1 0平行的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分又不必要条件 c 解析 直线x 2ay 1 0和2x 2ay 1 0平行 则1 2a 2a 2 0 得a 0 而a 0时 直线x 1 0与2x 1 0平行 故选c 3 已知直线l x y 1 0 l1 2x y 2 0 若直线l2和l1关于直线l对称 则l2的方程是 a x 2y 1 0b x 2y 1 0c x y 1 0d x 2y 1 0 b 4 直线l1 x y 0 l2 3x y 6 0和x轴围成的三角形的面积等于 5 已知两点a 3 2 和b 1 4 到直线mx y 3 0的距离相等 则实数m的值为 a1b2 a2b1 a1b2 a2b1 a1b2 a2b1 方法二 若直线l1和l2存在斜截式方程l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 则 1 直线l1 l2的充要条件是 2 直线l1 l2的充要条件是 若l1和l2的斜率都不存在 则l1与l2 若l1和l2中有一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为0 则 k1 k2且b1 b2 k1 k2 1 平行或重合 l1 l2 2 点到直线的距离 两条平行线的距离 1 设点p x0 y0 直线l ax by c 0 则p到l的距离 d 2 两条平行直线l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0之间的距离 d l1和l2的方程必须满足一次项对应系数 相同 4 轴对称 1 设平面上有直线l ax by c 0 和两点p x y p x y 若满足下列两个条件 则点p p 关于直线l对称 2 对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时的对称问题可直接通过代换法得解 关于x轴对称 以代 关于y轴对称 以代 关于y x对称 互换 pp 直线l pp 的中点在直线l上 y y x x x y 关于x y 0对称 以代 以代 关于x a对称 以代 关于y b对称 以代 3 对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义 由垂直平分列方程 从而找到坐标之间的关系 设点p x1 y1 q x2 y2 关于直线l ax by c 0 ab 0 对称 则 x y y x 2a x x 2b y y 5 直线系 1 与ax by c 0平行的直线方程 包括原直线 ax by 0 为待定系数 r 2 过a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0的交点的直线方程为 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r且不包含直线a2x b2y c2 0 一 对称问题例1已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 求 1 点a关于直线l的对称点a 的坐标 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 点评 对称问题求解或应用关键是利用 对称 的几何性质 常见的有 两点a b关于直线l对称 l垂直平分线段ab 二 两直线位置关系及应用例2已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 解析 1 由已知可得l2的斜率必存在 k2 1 a 若k2 0 则1 a 0 a 1 l1 l2 直线l1的斜率k1必不存在 即b 0 又 l1过点 3 1 3a b 4 0 即b 3a 4 1 0 不合题意 此种情况不存在 即k2 0 点评 在运用直线的斜截式y kx b时 要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况 运用直线的一般式ax by c 0时 要特别注意a b为零时的特殊情况 另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时 主要是利用两直线平行或垂直的充要条件 即 斜率相等 或 互为负倒数 若出现斜率不存在的情况 可考虑用数形结合的方法去研究 三 距离公式和直线系及应用例3已知直线l经过直线2x y 5 0与x 2y 0的交点 1 若点a 5 0 到l的距离为3 求l的方程 2 求点a 5 0 到l的距离的最大值 点评 本例第 1 小问若设直线方程后求解 易忽视直线斜率不存在情况 而应用直线系知识求解可回避直线斜率是否存在的分析探究过程 第 2 小问 求有关解析几何的最值 数形结合分析求解是一种简明快捷的方法 四 直线位置关系的综合应用例4已知n条直线 l1 x y c1 0 c1 l2 x y c2 0 l3 x y c3 0 ln x y cn 0 其中c1 c2 c3 cn 这n条平行直线中 每相邻两条直线之间的距离顺次为2 3 4 n 1 求cn 2 求x y cn 0与x轴 y轴围成的图形的面积 3 求x y cn 1 0与x y cn 0及x轴 y轴围成图形的面积 点评 本题是直线方程与平面几何知识 数列相联系的一道综合问题 考查学生综合运用知识解决问题的能力 备选题 例5若直线l1 y kx k 2与l2 y 2x 4的交点在第一象限 求k的取值范围 3 求解 解所列方程组 求到的解就是所求对称点的坐标 4 求对称曲线的步骤 1 设点 设所求曲线上的点为p x y 2 求点 利用3中的方法求出p点的对称点为q x y 即用x y来表示x y 3 代入 将q点坐标代入已知曲线的方程 所得的x y的关系式就是所求对称曲线的方程 注意记住几种特殊的对称性结论 对称中心是特殊点 如原点 对称轴是特殊直线 如x轴 y轴 y x b y x b等直线 求对称点和对称曲线可采用代入法直接求解 5 对有关中点 角平分线 光线反射 以及在直线上求一点使点到两个已知点的距离之和最小 或距离之差最大 等问题 通常将其转化为对称问题来处理 2011全国新课标 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 0 1 b点在直线y 3上 m点满足 m点的轨迹为曲线c 1 求c的方程 2 设p为c上动点 l为c在p点处的切线 求o点到l的距离的最小值 命题立意 本题主要考查向量及其运算 曲线方程的求法 导数的几何意义 点到直线的距离公式及基本不等式求最值等知识 考查运算求解能力 1 过点 1 3 且垂直于直线x 2y 3 0的直线l的方程为 a 2x y 1 0b 2x y 5 0c x 2y 5 0d x 2y 7 0 解析 由已知及两直线垂直的充要条件可知kl 2 则l的方程为y 3 2 x 1 即2x y 1 0 a 2 直线l1 x my 6 0和直线l2 m 2 x 3y 2m 0互相平行 则m的取值为 a 1或3b 1c 3d 1或 3 b 3 若直线l1 y k x 4 与直线l2关于点 2 1 对称 则直线l2恒过定点 a 0 4 b 0 2 c 2 4 d 4 2 解析 因为直线l1与l2关于点 2 1 对称 且直线l1过点 4 0 所以直线l2必过点 4 0 关于点 2 1 的对称点 0 2 故选b b 4 直线x 2y 1 0关于直线x 1对称的直线方程是 x 2y 3 0 5 光线自点m 2 3 射到n 1 0 后被x轴反射 则反射光线所在的直线方程为 y 3x 3 6 已知三条直线x y 0 x y 1 0 mx y 3 0不能构成三角形 则m的取值范围为 1 1 7 7 已知点p 2 1 1 求过p点与原点距离为2的直线l的方程 2 过p点与原点