【创新课堂】高考数学总复习 专题061 第5节 数列的综合应用课件 文.pptVIP

第五节数列的综合应用 知识汇合 题型一数列的实际应用 例1 假设某市2008年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2008年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 参考数据 1 084 1 36 1 085 1 47 1 086 1 59 典例分析 解 1 设中低价房面积形成数列 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 则sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 n 10 到2017年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 有250 n 1 50 400 1 08 n 1 0 85 当n 5时 a5 0 85b5 当n 6时 a6 0 85b6 满足上述不等式的最小正整数n为6 到2013年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 题型二等差数列与等比数列的综合应用 例2 设数列 an 的前n项和为sn 且 3 m sn 2man m 3 n n 其中m为常数 m 3 且m 0 1 求证 an 是等比数列 2 若数列 an 的公比满足q f m 且b1 a1 bn f bn 1 n n n 2 求证 为等差数列 并求bn 证明 1 证明 由 3 m sn 2man m 3 得 3 m sn 1 2man 1 m 3 两式相减 得 3 m an 1 2man m 3 当n 1时 3 m a1 2ma1 m 3 得a1 1 0 又 m是常数 且m 3 m 0 故是不为0的常数 an 是等比数列 2 由b1 a1 1 q f m bn f bn 1 n n 且n 2 得bnbn 1 3bn 3bn 1 是1为首项 为公差的等差数列 1 当n 1时也符合此式 故有bn 高考体验 1 若a b c成等比数列 则函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点的个数为 a 0b 1c 2d 不能确定解析 a b c成等比数列 b2 ac 则b2 4ac 3b2 0 即交点个数为0 2 随着计算机技术的迅猛发展 电脑的价格不断降低 若每隔2年电脑的价格降低三分之一 则现在价格为8100元的电脑6年后的价格可降为 a 2400元b 2700元c 3000元d 3600元解析 8100 1 133 2400元 a a 练习巩固 3 一个凸多边形 它的各内角度数成等差数列 最小角为60 公差为20 则这个多边形的边数是 a 3b 4c 5或9d 4或9解析 设边数为n 则60 n n n 1 2 20 n2 180 解得n 4或9 又 an 60 n 1 20 180 n 4 b 4 将全体正整数排成一个三角形数阵 123456789101112131415 根据以上排列规律 数阵中第n n 3 行的从左至右的第3个数是 5 2011 深圳调研 设数列 an 的前n项和为sn 其中an 0 a1为常数 且 a1 sn an 1成等差数列 1 求 an 的通项公式 2 设bn 1 sn 问是否存在a1 使数列 bn 为等比数列 若存在 则求出a1的值 若不存在 请说明理由 解析 1 由题意可得2sn an 1 a1 当n 2时 有2sn an 1 a1 2sn 1 an a1 两式相减 得an 1 3an n 2 又a2 2s1 a1 3a1 an 0 an 是首项为a1 公比为3的等比数列 an a1 3n 1 2 方法一 sn a1 a1 3n bn 1 sn 1 a1 a1 3n 要使 bn 为等比数列 当且仅当1 a1 0 即a1 2 此时bn 3n bn 是首项为3 公比为3的等比数列 bn 能为等比数列 此时a1 2 方法二 设数列 bn 能为等比数列 则b1 b2 b3成等比数列 b1 b3 sn a1 a2 an an a1 3n 1 bn 1 sn b2 1 4a1 b1 1 a1 b3 1 13a1 1 4a1 2 1 a1 1 13a1 又an 0 得a1 2 此时bn 1 sn 3n bn 是首项为3 公比为3的等比数列 bn 能为等比数列 此时a1 2 方法三 设数列 bn 能为等比数列 即满足 bn 1 bn 1 n 2 n n 又 bn 1 sn bn 1 1 sn an bn 1 1 sn an 1 1 sn 2 1 sn an 1 sn an 1 1 sn 2 1 sn 2 an an 1 1 sn anan 1 即 2an 1 anan 1 将an a1 3n 1代入得a1 2 此时bn 1 sn 3n 11 2011年浙江卷 已知公差不为0的等差数列 an 的首项a1为a a r 设数列的前n项和为sn 且 成等比数列 1 求数列 an 的通项公式及sn 2 记an bn 当n 2时 试比较an与bn的大小 解析 1 设等差数列