高考数学总复习 第二章第6课时 函数与方程课件 新人教版.ppt

第6课时函数与方程 第二章基本初等函数 导数及其应用 基础梳理1 函数的零点 1 函数零点的定义如果函数y f x 在实数a处的值 即 则a叫做这个函数的零点 在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 a 0 点 等于零 f a 0 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 x轴 零点 思考探究1 是否任意函数都有零点 提示 并非任意函数都有零点 只有f x 0有根的函数y f x 才有零点 3 函数零点的判定如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得 这个 也就是f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c 思考探究2 在上面的条件下 a b 内的零点有几个 提示 在上面的条件下 a b 内的零点至少有一个c 还可能有其他零点 个数不确定 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 3 用二分法求函数y f x 零点近似值的步骤第一步 确定区间 a b 验证 第二步 求区间 a b 的中点x1 第三步 计算f x1 和f a 并判断 f a f b 0 若 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 第四步 判断是否达到精确度 否则重复第二 三 四步 f x1 0 f a f x1 0 f a f x1 0 课前热身1 教材改编 如图所示的函数图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求图中交点横坐标的是 a b c d 答案 b 2 设f x 3x 3x 8 用二分法求方程3x 3x 8 0在x 1 2 内近似解的过程中得f 1 0 f 1 25 0 则方程的根所在区间为 a 1 25 1 5 b 1 1 25 c 1 5 2 d 不能确定答案 a 3 2011 高考福建卷 若关于x的方程x2 mx 1 0有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 a 1 1 b 2 2 c 2 2 d 1 1 解析 选c 方程x2 mx 1 0有两个不相等的实数根 m2 4 0 m 2或m 2 4 若函数f x 2x2 ax 3有一个零点是1 则f 1 答案 10 5 若函数f x ax x a a 0且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 答案 a 1 考点1函数零点的求解与判断判断函数y f x 在某个区间上是否存在零点 常用以下方法 1 解方程 当对应方程易解时 可通过解方程 看方程是否有根落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理进行判断 3 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 思路分析 借助函数零点存在性定理和函数在 1 1 上的单调性来判断 规律小结 方程的根或函数零点的存在性问题 可以根据区间端点处的函数值的正负来确定 但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性 在给定的区间上 如果函数是单调的 它至多有一个零点 如果不是单调的 可继续细分出小的单调区间 再结合这些小的区间的端点处函数值的正负 作出正确判断 互动探究1 若例1中x的范围改为r 试回答原来问题 解 f x 4 2x 2x2 令f x 0 x 2 1 x 2是f x 的极大值点 x 1是f x 的极小值点 考点2二分法求方程的近似解用二分法求函数零点近似值的步骤 可借助于计算器一步步地求解 也可以借助于表格或数轴逐步缩小零点所在的区间 而运算终止的条件是区间长度小于精确度 用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度0 1 思路分析 依据二分法求函数f x 的零点近似值的步骤 解 由于f 1 1 1 1 10 f x 在区间 1 1 5 上存在零点 取区间 1 1 5 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 1 375 1 3125 0 0625 0 1 函数的零点落在区间长度小于0 1的区间 1 3125 1 375 内 故函数零点的近似值为1 3125 方法指导 求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度 当区间长度小于精确度 时 运算即告结束 此时区间内的任何一个值均符合要求 而我们通常取区间的一个端点值作为近似解 考点3函数零点的综合应用函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想 函数与方程虽然是两个不同的概念 但它们之间有着密切的联系 方程f x 0的解就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 函数y f x 也可以看作二元方程f x y 0 然后通过方程进行研究 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决 反之 许多函数问题也可以用方程的方法来解决 函数与方程的思想是中学数学的基本思想 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一个零点比1大 一个零点比1小 求实数a的取值范围 思路分析 可把函数转化为方程 其方程的两根满足x11 利用 x1 1 x2 1 0求解 也可利用图象求解 解 法一 设方程x2 a2 1 x a 2 0的两根分别为x1 x2 x1 x2 则 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根与系数的关系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 法二 函数图象大致如图 则有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 2 a 1 方法指导 此类方程根的分布问题通常有两种解法 一是方程思想 利用根与系数的关系 二是函数思想 构造二次函数利用其图象分析 从而求解 互动探究2 若例3中函数不变 后面的内容改为 一个零点在0与1之间 另一个零点在1与2之间 求实数a的范围 应如何求解 方法技巧1 函数零点的判定常用的方法有 1 零点存在性定理 2 数形结合 3 解方程f x 0 2 研究方程f x g x 的解 实质就是研究g x f x g x 的零点 3 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法 其实质是通过不断地 取中点 来逐步缩小零点所在的范围 当达到一定的精确度要求时 所得区间内的任一点均是这个函数零点的近似值 失误防范1 把握函数的零点应注意的问题 1 函数的零点是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 其函数值等于零 2 函数的零点也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 3 一般我们只讨论函数的实数零点 4 函数的零点不是点 是方程f x 0的根 2 对函数零点存在的判断中 必须强调 1 f x 在 a b 上连续 2 f a f b 0 3 在 a b 内存在零点 事实上 这是零点存在的一个充分条件 但不必要 命题预测从近几年的高考试题来看 函数的零点 方程根的问题是高考的热点 特别新课改的省份更是热点 题型既有选