高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题课件 北师大版选修11 (2).ppt

1 1命题 1 命题 1 定义可以判断真假 用文字或符号表述的语句叫作命题 2 分类判断为真的语句叫作真命题 判断为假的语句叫作假命题 3 形式一个命题由条件和结论两部分组成 数学中 通常把命题表示为 若p 则q 的形式 其中p是条件 q是结论 名师点拨1 并不是任何语句都是命题 能够判断真假的语句才是命题 2 一般来说 疑问句 祈使句 感叹句等都不是命题 3 对于含有变量的语句 要注意根据变量的取值范围 看能否判断真假 若能 就是命题 若不能 就不是命题 4 数学中的定义 公理 公式 定理都是命题 但命题不一定都是定理 因为命题有真假之分 而定理一定是真命题 做一做1 1 下列语句不是命题的是 a 3是15的约数b x2 2x 1 0c 4不小于2d 5能被15整除吗 2 下列命题中 是真命题的是 a x r x2 1 0 不是空集b 若x2 1 则x 1c 空集是任何集合的真子集d x2 5x 0的根是自然数解析 1 d是疑问句 不能判断真假 不符合命题的定义 不是命题 其余a b c均能够判断真假 均是命题 2 a中方程在实数范围内无解 故a是假命题 b中若x2 1 则x 1 故b是假命题 因空集是任何非空集合的真子集 故c是假命题 所以选d 答案 1 d 2 d 2 四种命题及其关系 1 四种命题及其形式对 若p 则q 形式的命题中的p和q进行 换位 即交换位置 或 换质 即分别否定 后 可以构成其他三种不同形式的命题 设原命题 若p 则q 则逆命题 将条件和结论 换位 即 若q 则p 否命题 将条件和结论都 换质 即分别否定 逆否命题 将条件和结论 换位 又 换质 即互换位置 且分别否定 特别提醒1 一定要分清命题的条件和结论 注意大前提是不能作为条件来对待的 它在四种命题形式中是不变的 2 一定要注意条件与结论的否定形式 要掌握一些常见关键词的否定 3 逆命题 否命题和逆否命题都是相对原命题而言的 都是相对的概念 2 四种命题间的相互关系 原命题 逆命题 否命题与逆否命题这四种命题间的相互关系如图所示 一般地 四种命题的真假性 有且仅有下面四种情况 因为逆命题和否命题互为逆否命题 所以四种命题的真假性之间的关系是 a 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 b 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性没有必然的关系 做一做3 1 命题 若x2 1 则x 1 的否命题是命题 填 真 或 假 2 若命题p的逆否命题是真命题 则命题p是命题 填 真 或 假 3 命题 若a b 则a2 b2 的逆否命题为 其真假情况为 填 真命题 或 假命题 答案 1 假 2 真 3 若a2 b2 则a b假命题 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 有的命题没有逆命题 2 含有变量的语句也可能是命题 3 如果一个语句判断为假 那么它就不是命题 4 在原命题及其逆命题 否命题 逆否命题中 假命题的个数一定是偶数 5 原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 下列语句是否为命题 若是 则判断其真假 若不是 则说明理由 1 x 1或x 1 2 如果x 1 那么x 3 3 方程x2 5x 6 0的根是x 2 4 x2 5x 6 0 5 一个实数不是正数就是负数 6 矩形是平行四边形 7 把这道题解出来 8 正方形是平行四边形吗 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析判断一个语句是否为命题 应把握住这个语句能否判断真假 一般来说祈使句 疑问句 感叹句都不是命题 一个命题不是真就是假 二者必居其一 不能模棱两可 不能辨别真假的语句 一定不是命题 解 1 由于x的值不确定 因此无法作出判断 不是命题 2 已经明确指定了x的值 是命题 且是假命题 3 是命题 且是假命题 因为还有一根是x 3 4 不是命题 因为x的值不确定 5 是命题 且是假命题 因为0既不是正数也不是负数 6 是命题 且是真命题 7 不是命题 因为它是祈使句 8 不是命题 因为它是疑问句 反思感悟注意不要把假命题误认为不是命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1判断下列语句是否为命题 若是 则判断其真假 若不是 则说明理由 1 若a b c d r a c且b d 则a b c d 2 对立事件一定是互斥事件 3 函数y cosx的最小正周期是 吗 4 在等比数列 an 中 若公比q 1 则数列 an 是递增数列 5 求证 若x r 则x2 x 1 0 解 1 是命题 且是真命题 2 是命题 且是真命题 3 是疑问句 不是命题 4 是命题 且是假命题 如数列 1 2 4 8 为递减数列 5 是祈使句 不是命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 写出下列各个命题的逆命题 否命题及逆否命题 2 若a b是偶数 则a b都是偶数 3 等底等高的两个三角形是全等三角形 4 当1 x 2时 x2 3 2 0 5 若ab 0 则a 0或b 0 分析注意分清命题的条件和结论 按照四种命题的定义写出相应的命题 其中 2 要注意对 都是 的否定 5 要注意对 或 的否定 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 逆命题 若a b都是偶数 则a b是偶数 否命题 若a b不是偶数 则a b不都是偶数 逆否命题 若a b不都是偶数 则a b不是偶数 3 逆命题 若两个三角形全等 则这两个三角形等底等高 否命题 若两个三角形不等底或不等高 则这两个三角形不全等 逆否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形不等底或不等高 4 逆命题 若x2 3x 2 0 则1 x 2 否命题 若x 1或x 2 则x2 3x 2 0 逆否命题 若x2 3x 2 0 则x 1或x 2 5 逆命题 若a 0或b 0 则ab 0 否命题 若ab 0 则a 0 且b 0 逆否命题 若a 0 且b 0 则ab 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 给出一个命题 写出其命题的四种形式时 首先要弄清楚该命题的条件和结论 若给出的命题不是 若p 则q 的形式 则应改写为 若p 则q 的形式 找出命题的条件和结论 2 写一个命题的否命题时 要对命题的条件和结论都进行否定 避免出现不否定条件 只否定结论的错误 3 要特别注意对一些常见形式的否定的写法 例如 都是 的否定为 不都是 a b中至少一个为零 的否定为 a b都不为零 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2写出命题 若抛物线y ax2 bx c的开口向下 则集合 x ax2 bx c 0 的逆命题 否命题 逆否命题 解逆命题 若集合 x ax2 bx c 0 则抛物线y ax2 bx c的开口向下 否命题 若抛物线y ax2 bx c的开口向上 则集合 x ax2 bx c 0 逆否命题 若集合 x ax2 bx c 0 则抛物线y ax2 bx c的开口向上 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 判断下列各个命题的真假 1 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题 2 对顶角相等 的逆命题 3 直角三角形的两个锐角互为余角 的逆否命题 4 若a 0或b 0 则a b 0 分析可以先根据要求写出每个命题 再判断真假 也可以不写出命题 而利用四种命题之间的等价关系进行判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 方法一 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题是 若x y 0 则x y不互为相反数 是真命题 方法二 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题是 若x y互为相反数 则x y 0 显然是真命题 而逆命题和否命题等价 因此 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题是真命题 2 方法一 对顶角相等 的逆命题是 若两个角相等 则它们是对顶角 是假命题 方法二 对顶角相等 的否命题是 若两个角不是对顶角 则它们不相等 显然是假命题 而逆命题和否命题等价 故 对顶角相等 的逆命题是假命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 3 方法一 直角三角形的两个锐角互为余角 的逆否命题是 若一个三角形的两个锐角不互为余角 则这个三角形不是直角三角形 是真命题 方法二 因为命题 直角三角形的两个锐角互为余角 是真命题 而原命题与逆否命题等价 所以 直角三角形的两个锐角互为余角 的逆否命题是真命题 4 方法一 取a 4 b 6 满足a 0或b 0 但这时a b 0不成立 故原命题是假命题 方法二 命题 若a 0或b 0 则a b 0 的逆否命题是 若a b 0 则a 0 且b 0 显然是假命题 而原命题与逆否命题等价 所以原命题是假命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟判断一个命题的真假通常有以下两种方法 1 分清该命题的条件与结论 直接根据我们已学过的定义 定理 公理 法则 公式 事实等判断其真假 也可通过反例判断其真假 将命题改写成 若p 则q 的形式后 判断此命题真假的方法如下 若由 p 经过逻辑推理得出 q 则可确定 若p 则q 为真 而确定 若p 则q 为假时 只需举一个反例说明即可 从集合的观点看 我们建立集合a b与命题中的p q之间的一种特殊联系 设集合a x p x 成立 b x q x 成立 就是说 a是能使条件p x 成立的对象x所构成的集合 b是能使条件q x 成立的对象x所构成的集合 此时 若p 则q 为真 意思就是 使p成立的对象也使q成立 当且仅当a b时满足 2 不直接写出命题 而是根据命题之间的关系进行判断 即原命题与逆否命题等价 逆命题与否命题等价 特别是当命题本身不容易判断真假时 通常是通过判断其逆否命题的真假来实现 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3 1 命题 个位数字为5的整数能被5整除 是命题 它的逆命题是命题 填 真 或 假 2 命题 已知a b为实数 若x2 ax b 0有非空解集 则a2 4b 0 写出该命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断这些命题的真假 1 解析 显然原命题为真命题 而当一个整数能被5整除时 其末尾数字不一定为5 也可以为0 故逆命题是假命题 答案 真假 2 解逆命题 已知a b为实数 若a2 4b 0 则x2 ax b 0有非空解集 否命题 已知a b为实数 若x2 ax b 0没有非空解集 则a2 4b 0 逆否命题 已知a b为实数 若a2 4b 0 则x2 ax b 0没有非空解集 原命题 逆命题 否命题 逆否命题均为真命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因知识欠缺导致对命题真假判断失误 典例 判断下列命题的真假 2 x 1是方程 x 1 x 2 0的根 易错分析 1 误认为两数比较大小时 大数的倒数反而小 而忽视a b的条件 当a 0 bb 但 2 因为方程 x 1 x 2 0的根为x 1或x 2 解题时误认为x 1不全面 而没有分清逻辑关系 解 1 假命题 2 真命题 纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练判断下列命题的真假并说明理由 1 合数一定是偶数 2 若ab 0 且a b 0 则a 0且b 0 3 若m 则方程mx2 x 1 0无实根 解 1 假命题 例如9是合数 但不是偶数 2 真命题 因为ab 0 所以a b同号 又a b 0 所以a b不能同负 故a b只能同正 即a 0且b 0 3 真命题 因为当m 时 1 4m 0 所以方程无实根 1234 1 下列语句是命题的是 a 5比10大b 他是高年级的学生c x y xyd 太阳和月亮解析 5比10大 能判断为假 故是命题 其余均不是命题 答案 a 1234 2 命题 若a b 6 则ab 9 的否命题是 a 若a b 6 则ab 9b 若a b 6 则ab 9c 若a b 6 则ab 9d 若a b