高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.2 空间两条直线的位置关系课件 苏教版必修2.ppt

1 空间两条直线的位置关系是相交 平行 异面 2 平行直线 1 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 即 a c 2 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同 那么这两个角相等 交流1如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角一定相等吗 答案 不一定 当方向相同时 这两个角相等 当有一组对应边方向相同 另一组对应边方向相反时 两个角互补 3 异面直线 1 定义 把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2 判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 用符号表示为 如图 若l a b b l 则直线ab与l是异面直线 3 异面直线所成的角 如果a b是两条异面直线 则经过空间任意一点o 作直线a a b b 则直线a 和b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 若异面直线a b所成的角是直角 则称异面直线a b互相垂直 记作a b 异面直线所成的角的范围是 0 90 交流2分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗 答案 不一定 如图 a b 但a与b可能相交 也可能平行 交流3 1 给出如下四个判断 平行于同一条直线的两条直线平行 垂直于同一条直线的两条直线平行 在空间中 不相交的两条直线是异面直线 如果直线a b异面且直线b c异面 那么直线a c异面 其中正确的是 填序号 2 在长方体abcd a1b1c1d1中 与棱aa1垂直且异面的棱有 答案 1 2 dc bc d1c1 b1c1 典例导学 一 二 三 即时检测 一 平行公理与等角定理的应用如图 e f分别是空间四边形abcd的边ab与bc的中点 g h分别是cd与ad上靠近d点的三等分点 求证 四边形efgh是梯形 思路分析 要证四边形是梯形 需证一组对边平行且不相等 可利用三角形中位线的性质和公理来证明 典例导学 一 二 三 即时检测 证明 连结ac 在 abc中 ef为 abc的中位线 ef ac 在 dac中 h g分别为da dc的三等分点 hg ac ef hg且ef hg 四边形efgh是梯形 典例导学 一 二 三 即时检测 1 在空间四边形abcd中 点e f g h分别为ab bc cd da的中点 若ac bd且ac bd 则四边形efgh为 导学号51800022 解析 如图 e f g h分别为所在边的中点 由中位线性质得 四边形efgh为平行四边形 又ac bd且ac bd ef fg 且ef fg 四边形efgh为正方形 典例导学 一 二 三 即时检测 2 已知e e1分别是正方体abcd a1b1c1d1的棱ad a1d1的中点 求证 bec b1e1c1 导学号51800023 证明 如图 连结ee1 e e1分别为ad a1d1的中点 a1e1 ae 四边形a1e1ea为平行四边形 a1a e1e 又 a1a b1b e1e b1b 四边形e1ebb1是平行四边形 e1b1 eb 同理e1c1 ec 又e1b1与eb方向相同 e1c1与ec方向相同 bec b1e1c1 典例导学 一 二 三 即时检测 1 证明角的相等问题 等角定理 是较常用的方法 另外 通过证明三角形的相似或全等也可以完成角相等的证明 2 等角定理 为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与惟一性 即过空间任一点 引分别平行于两条异面直线的直线 它们所成的锐角 或直角 都是相等的 而与所取点的位置无关 典例导学 即时检测 一 二 三 二 异面直线的判定及证明已知空间四边形abcd 求证 它的对角线ac与bd是异面直线 思路分析 解答本题可利用反证法证明 也可以利用两异面直线的判定定理证明 证明 如题干图所示 假设ac和bd不是异面直线 则ac与bd在同一平面内 a b c d四点在同一平面内 即四边形abcd是平面四边形 这与已知条件矛盾 假设不成立 因此ac和bd是异面直线 典例导学 即时检测 一 二 三 1 2016四川德阳高二期中 如图 点p q r s分别在正方体的四条棱上 并且是所在棱的中点 则直线pq与rs是异面直线的一个图是 解析 易知选项a b中pq rs 选项d中rs与pq相交 只有选项c中rs与pq是异面直线 答案 c 典例导学 即时检测 一 二 三 2 下图表示一个正方体表面的一种展开图 图中的四条线段ab cd ef和gh在原正方体中相互异面的有对 解析 将展开图恢复成正方体后 有ab与cd ef与gh ab与gh共3对异面直线 答案 3 典例导学 即时检测 一 二 三 证明两直线为异面直线的方法 1 证明两条直线异面 首先可用定义证明 若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的 因此必须找到一个间接证法来证明 反证法即为一种行之有效的好方法 2 应用反证法证题的一般步骤是 假设结论的反面成立 据理推出矛盾 从而判定原结论正确 典例导学 即时检测 一 二 三 三 求异面直线所成的角如图所示 在棱长为2的正方体abcd a b c d 中 e f分别是a b 和ab的中点 则异面直线a f与ce所成角的正切值等于 导学号51800024 思路分析 解题的关键是根据异面直线所成角的定义 用平移的方法作出所求的角 然后求出它的正切值 解题时 要充分利用正方体的性质 典例导学 即时检测 一 二 三 解析 连结eb 则由fb a e 得四边形a ebf为平行四边形 eb a f ceb即为a f与ec所成的角 典例导学 即时检测 一 二 三 1 2016浙江杭州高二联考 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g h分别为aa1 ab bb1 b1c1的中点 则异面直线ef与gh所成的角等于 导学号51800025 典例导学 即时检测 一 二 三 解析 取a1b1的中点m 连结mg mh 则mg ef mg与gh所成的角等于ef与gh所成的角 易知 mgh为正三角形 mgh 60 故ef与gh所成的角等于60 答案 60 典例导学 即时检测 一 二 三 2 如图 已知正三棱柱abc a1b1c1的各条棱长都相等 m是侧棱cc1的中点 则异面直线ab1和bm所成的角为 正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱 典例导学 即时检测 一 二 三 解析 如图 取bb1的中点n ab的中点d 连结c1n c1d nd 因为nd ab1 bm c1n 所以 c1nd即为所求的角 设棱长为2 则可求得nd 在 c1nd中 c1n2 nd2 c1d2 故 c1nd 90 即异面直线ab1和bm所成的角为90 答案 90 典例导学 即时检测 一 二 三 求两异面直线所成角的技巧 1 求两异面直线所成角的关键在于作角 总结起来有如下 口诀 中点 端点定顶点 平移常用中位线 平行四边形柱中见 指出成角很关键 求角构造三角形 锐角 钝角要明辨 平行线若在外 补上原体在外边 2 如果求得的角的余弦值为负值的话 这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角 所以在指明所求角的时候 应该说 这个角或其补角 即为所求的角 典例导学 1 2 3 4 5 即时检测 1 下列说法中正确的是 a 若两条直线分别在两个相交平面内 则两直线不可能平行b 若两条直线与第三条直线所成角相等 则这两条直线平行c 四条边都相等的四边形是菱形d 若a b b与c异面 则a与c不可能平行解析 当两条直线都平行于两个平面的交线时 这两直线平行 故a不正确 等腰三角形的两腰所在直线与底边所在直线成等角 这两直线相交 故b不正确 若把菱形沿对角线折起 则得到四条边都相等的空间四边形 故c不正确 若a c 又a b b c 这与已知b与c异面矛盾 故d正确 答案 d 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 2 空间两条互相平行的直线指的是 a 在空间没有公共点的两条直线b 分别在两个平面内的两条直线c 分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线d 在同一平面内且没有公共点的两条直线解析 选项a b c所述的两条直线均有可能是异面直线 由平行直线的定义知d是正确的 答案 d 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 3 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 与ad1异面且与ad1所成角为90 的面对角线 面对角线是指正方体各个面上的对角线 共有条 解析 与ad1异面的面对角线分别为a1c1 b1c bd ba1 c1d 其中与ad1所成角为90 的只有b1c一条 答案 1 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 4 如图所示是正方体的平面展开图 在这个正方体中 bm与ed平行 cn与bm是异面直线 cn与be是异面直线 dn与bm是异面直线 以上说法中 正确的序号是 解析 把平面图形还原为正方体 如图所示 正确说法的序号是 观察图形 根据两直线平行的定义可知 bm与ed是异面直线 cn