湖北黄冈高三数学八模测理

湖北省黄冈市八模2019届高三数学模拟测试题（二）理（含解析）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，10以内的素数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集和补集运算得到结果即可.【详解】，由补集运算得到结果为：.故选D.【点睛】这个题目考查了集合的交集运算和补集运算，较为简单.2.为虚数单位，已知是纯虚数，与为共轭虚数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，根据复数的除法运算以及共轭复数的概念得到结果.【详解】设，为实数，解得.故.故选A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，是基础题.3.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： 将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ）A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B. 该校只有50名学生不喜欢阅读C. 该校只有50名学生喜欢阅读D. 抽样表明，该校有50名学生为阅读霸【答案】A【解析】【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.【详解】根据频率分布直方图可列下表：阅读时间（分）抽样人数（名）10182225205抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.故选A.【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数和对数的运算法则分别估算a,b,c的数值大概的范围，从而得到大小关系.【详解】，又，故.故选C.【点睛】这个题目考查了比较两数大小的应用，常见的比较大小的方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图像（ ）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】C【解析】 于是 在对称轴上取到最值， 故A不对； ，故B不对；又故C正确；故D不对故选C.6.设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则（ ）A. 528B. 529C. 530D. 531【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质得到结果即可.【详解】根据等差数列的性质：得到：.故选D.【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用，即，题目比较基础.7.设等边三角形的边长为1，平面内一点满足，向量与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的平方等于模长的平方得到，再将两边用点乘，由向量点积公式得到夹角的余弦值.【详解】，对两边用点乘，与夹角的余弦值为.故选D.【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.8.一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到原图，再由割补法得到体积.【详解】该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，由直三棱柱的体积减去小三棱锥的体积即可得到结果，则其体积为.故选C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.某校有、四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.甲说：“、同时获奖.”乙说：“、不可能同时获奖.”丙说：“获奖.”丁说：“、至少一件获奖”如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ）A. 作品与作品B. 作品与作品C. 作品与作品D. 作品与作品【答案】D【解析】【分析】根据条件可判断出乙丁预测正确，而甲丙预测错误，这样根据这四位同学的预测即可得出获奖的作品【详解】乙，丁预测的是正确的，甲，丙预测的是错误的；丙预测错误，C不获奖；丁预测正确，A，C至少一件获奖，A获奖；甲预测错误，即A，B不同时获奖，B不获奖；D获奖；即获奖的作品是作品A与作品D故选：D【点睛】本题考查进简单合情推理的过程和方法，属于中档题10.设为椭圆上任意一点，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆定义得，再根据条件得，最后根据圆的定义得轨迹方程.【详解】 为椭圆上任意一点,且A,B为椭圆的焦点， ，又，所以点的轨迹方程为.选B.【点睛】求点的轨迹方程的基本步骤是：建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；寻找动点P（x，y）所满足的条件；用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；化简方程f（x，y）=0为最简形式；证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程.11.如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列不正确的是（ ）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果.【详解】平面平面，A正确，C、D显然正确.故选B.【点睛】这个题目考查了面面垂直的判定，先得到线面垂直，即一条线垂直于面内的两条相交直线则线面垂直，进而得到面面垂直.12.如果函数在区间上增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上“函数”，区间叫做“区间”.若函数是区间上“函数”，则“区间”为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意需要找函数的增区间和函数的减区间，两者取交集即可.【详解】根据题干得到：因，故，解得.故选B.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，原函数的导函数大于等于0则得到函数的增区间，导函数小于等于0则得到函数的减区间.第卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数,若，则_【答案】2【解析】【分析】根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.【详解】由时是减函数可知，若，则，由得，解得，则.故答案为：2.【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。(3)求f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。14.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_种.【答案】120【解析】分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同详解：故答案为120点睛：本题考查排列组合的应用排列组合中如果有元素相邻，则可用捆绑法，即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列，当然它们之间也要全排列，特殊元素可优先考虑注意分类与分步结合，不重不漏15.已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义得，根据是等腰直角三角形得,解得，再由余弦定理可得到结果.【详解】设双曲线的实半轴长为，半焦距为.如图，根据双曲线的定义得，根据是等腰直角三角形得，解得，.在中，由余弦定理得 ，解得，则双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).16.已知数列满足，为数列的前项和，则的值为_【答案】2016【解析】数列满足，且，则.故答案为.三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在中，角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的面积为，求的最小值.【答案】（1）（2）12【解析】试题分析：利用余弦定理化简，转化求解角；利用三角形的面积以及余弦定理结合基本不等式求解即可。解析：(1) （2） 故最小值为12. 18.如图，已知多面体，均垂直于平面，.（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角大小.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由几何关系得到平面，进而得到线线垂直；（2）将平面延伸，找到两个面的交线，再由二面角的平面角的定义得到所求角，进而得到结果.【详解】（1）由，得，.故.由，得，由，得，由，得，故.因此平面.又平面，.（2）延长交于，延长交于，连，则为平面与平面所成锐二面角的棱，连，所以，为直角，所以为等边三角形，为直角，于是为平面与平面所成锐二面角的平面角，其大小为.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。19.已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）设点在抛物线上，过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线、分别交直线于、两点，求最小时直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）焦点 ，根据点到直线的距离，求抛物线方程；（2）设直线的方程为与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再求直线的方程，得到点的坐标，利用根与系数的关系表示两点间距离，求最值.试题解析：（1）抛物线的焦点为，得，或（舍去）抛物线的方程为.（2）点在抛物线上，得，设直线为，由得，；，由，得，同理；当时，此时直线方程：.【点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，确定抛物线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法-如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的关系如图所示.（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据：，.【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）2台.【解析】【分析】(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.【详解】（1）由已知数据可得，.，.相关系数 .，可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），故的分布列为200060000.20.8（元）.安装3台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润（元），当时，3台光照控制仪都运行，周总利润（元），故的分布列为1000500090000.20.70.1（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.21.已知函数，其中（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）记的导函数为当时，证明：存在极小值点，且【答案】（1）0；（2）见解析【解析】分析：第一问对函数求导，利用两直线垂直，斜率所满足的条件求得切线的斜率，即函数在对应点处的导数，从而求得，第二问写出函数的解析式，对其求导，根据，从而将研究的符号转化为研究的符号，对其再求导，从而确定出函数在给定区间上的变化趋势，以及极小值点所满足的条件，最后证得结果.详解：（1）依题意，有 ，解得.（2）令，所以因为，所以与同号设，则 所以对任意，有，故在单调递增因，所以，故存在，使得与在区间上的情况如下：极小值所以在区间上单调递减，在区间上单调递增所以