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斯坦纳斯坦纳 莱默斯定理莱默斯定理 如果三角形中两内角平分线相等 则必为等腰三角形 这一命题的逆命题 等腰三角形两底角的平分线长相等 早在二千多年 前的 原本 中就已作为定理 证明是很容易的 但上述原命题在 原本 中 只字未提 直到 1840 年 莱默斯 C L Lehmus 在他给斯图姆 C Sturm 的 信中提出请求给出一个纯几何证明 斯图姆没有解决 就向许多数学家提出这 一问题 首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳 J Steiner 1796 1863 因而 这一定理就称为斯坦纳 莱默斯定理 继斯坦纳之后 这一定理的丰富多彩的证明陆续发表 但大多是间接证法 直接证法难度颇大 一百多年来 吸引了许多数学家和数学爱好者 经过大家 的努力 出现了许多构思巧妙的直接证法 下面给出德国数学家海塞 L O Hesse 1811 1874 的证法 供大家欣赏 如图 已知 ABC 中 两内角的平分线 BD CE 求证 AB AC 证明 作 并取 DF BC 使 F 与 C 分居于直线 BD 的两侧 BDFBCE 如图所示 连接 BF 由已知 BD CE 得 BDF ECB DBFBEC BFBE 连接 CF 设 则2 2ABCACB 1802 180 FBCFBDBEC 1802 180 CDFCDBBDFCDBBCE 因为 所以 在22180 90 180 90FBCCDF 钝角中 BC DF CF FC 所以 BF CD 即 FBCCDF FBC CDF BE CD 于是有 所以 AB AC B
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