高考数学二轮复习专题五第2讲椭圆双曲线抛物线的基本问题案文.docx

第2讲椭圆、双曲线、抛物线的基本问题高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.解析以线段A1A2为直径的圆是x2y2a2，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离da，整理为a23b2即.e.答案A2.(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由题设知，又由椭圆1与双曲线有公共焦点，易知a2b2c29，由解得a2，b，则双曲线C的方程为1.答案B3.(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2，0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.答案64.(2017全国卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0)，由得x0x，y0y，因为M(x0，y0)在C上，所以1，因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1，0)，设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)，由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22.故33mtn0.所以0，即，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：1(ab0)(焦点在x轴上)或1(ab0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：1(a0，b0)(焦点在x轴上)或1(a0，b0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为e.在双曲线中：c2a2b2；离心率为e.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx；焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0).双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y22px(p0)的焦点F，准线方程x.抛物线x22py(p0)的焦点F，准线方程y.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y22px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)(2017天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 D.x21(2)(2017临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y22px(p0)上，且ABCD，CD2AB4，ADC60，则点A到抛物线的焦点的距离是_.解析(1)依题意知c2，tan 60，又a2b2c24，解得a21，b23，故双曲线方程为x21.(2)由题意设A(x1，1)，D(x1，2)，所以12px1，42p(x1)p，x1，所以点A到抛物线的焦点的距离是x1.答案(1)D(2)探究提高1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2016天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 B.x21C.1 D.1(2)已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是_.解析(1)依题意得，又a2b2c25，联立得a2，b1.所求双曲线的方程为y21.(2)由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|21.答案(1)A(2)热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.(2)(2017山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.解析(1)不妨设椭圆方程为1(ab0)，右焦点F(c，0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意b，且a2b2c2，得b2c2b2a2，所以e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得a2y22pb2ya2b20，由根与系数的关系得y1y2p，又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即y1y2p，pp，即.双曲线渐近线方程为yx.答案(1)B(2)yx探究提高1.分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求或的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2017德州二模)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y24x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若SAOB2，则双曲线的离心率e()A. B. C.2 D.(2)(2016北京卷)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a_.解析(1)抛物线y24x的准线方程为x1，不妨设点A在点B的上方，则A，B.|AB|.又SAOB12，b2a，则ca，因此双曲线的离心率e.(2)取B为双曲线右焦点，如图所示.四边形OABC为正方形且边长为2，c|OB|2，又AOB，tan1，即ab.又a2b2c28，a2.答案(1)D(2)2热点三直线与圆锥曲线命题角度1直线与圆锥曲线的位置关系【例31】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.探究提高1.本题第(1)问求解的关键是求点N，H的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练3】 (2016江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)当p1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标.解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为.由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)当p1时，曲线C：y22x.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0).因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，设其方程为yxb.由消去x得y22y2b0.因为P和Q是抛物线C的两相异点，得y1y2.从而441(2b)8b40.(*)因此y1y22，所以y01.又M(x0，y0)在直线l上，所以x01.所以点M(1，1)，此时b0满足(*)式.故线段PQ的中点M的坐标为(1，1).命题角度2有关弦的中点、弦长问题【例32】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)过点P(2，1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值.解(1)e2，a24b2.又1，a28，b22.故所求椭圆C的方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得x22mx2m240，判别式164m20，即m24.又x1x22m，x1x22m24，则|AB|，点P到直线l的距离d.因此SPABd|AB|2，当且仅当m22时上式等号成立，故PAB面积的最大值为2.探究提高1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|x2x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2016全国卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.解由题意可知F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.(1)证明记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.因为点F在线段AB上，所以ab10，记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，所以k1，k2b，又因为ab10，所以k1b，所以k1k2，即ARFQ.(2)解设直线AB与x轴的交点为D(x1，0)，所以SABF|ab|FD|ab|，又SPQF，所以由题意可得SPQF2SABF，即2|ab|，解得x10(舍)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1).又，所以y2x1(x1).当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2x1.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2By21，其中A，B是不等的常数，AB0时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1x2，y1y2，三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2016全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B.1 C. D.2解析因为抛物线方程是y24x，所以F(1，0).又因为PFx轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y(k0)，即2，所以k2.答案D2.(2017长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析由题设知bc，a2，椭圆的标准方程为1.答案C3.(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则APF的面积为()A. B. C. D.解析由c2a2b24得c2，所以F(2，0)，将x2代入x21，得y3，所以|PF|3.又A的坐标是(1，3)，故APF的面积为3(21).答案D4.(2017全国卷)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A.2 B. C. D.解析设双曲线的一条渐近线yx，化成一般式bxay0，圆心(2，0)到直线的距离为，又由c2a2b2得c24a2，e24，e2.答案A5.(2017新乡模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设A(x，y)，右焦点为F(c，0)，点B(0，b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且2，x，y，代入双曲线方程，得1，且c2a2b2，b.|4，c2b216，a2，b，双曲线C的方程为1.答案D二、填空题6.(2017北京卷)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析由题意知e23，则m2.答案27.(2017邯郸质检)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若4，则|QF|等于_.解析过点Q作QQl交l于点Q，因为4，所以|PQ|PF|34，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|QQ|3.答案38.(2017石家庄三模)已知抛物线y22px(p0)上的一点M(1，t)(t0)到焦点的距离为5，双曲线1(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行.则实数a的值为_.解析由题设15，p8.不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，由于双曲线的左顶点A(a，0)，且直线AM平行一条渐近线，则a3.答案3三、解答题9.(2017佛山调研)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，右焦点为F(1，0).(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程.解(1)依题意可得解得椭圆E的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x1，不符合题意；当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(x1)