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射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 在RtABC中，ABC=90，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下BD=ADCDAB=ACADBC=CDAC 在圆内接四边形ABCD中，ACBD,自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边 由PDC+ACD=90,PDC+HPD=90推出ACD=HPD推出ABD=MPB推出BM=PM 由ABD+BAC=90及推出BAC+MPB=90 由MPA+MPB=90及推出BAC=MPA推出AM=PM 联即得AM=BM推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心。“过圆O上弧AB的中点，作弦AB的垂线，则垂足必将弦AB平分。”方法1：补短法如图，延长DB至F，使BF=BA M是弧ABC的中点MCA=MAC=MBCMBAC四点共圆MCA+MBA=180MBC+MBF=180MBA=MBFMB=MB,BF=BAMBFMBAF=MAB=MCBMF=MCMDCFCD=DF=DB+BF=AB+BD阿基米德折弦定理方法2：截长法如图，在CD上截取DG=DBMDBGMB=MG，MGB=MBC=MACM是弧ABC的中点MAC=MCA=MGB即MGB=MCB+BCA=MCB+BMA又MGB=MCB+GMCBMA=GMCMA=MCMBAMGCAB=GCCD=CG+GD=AB+BD阿基米德折弦定理方法3：垂线法如图，作MH射线AB，垂足为H。M是弧ABC的中点MA=MCMDBCMDC=90=HMAB=MCBMHAMDCAH=CD，MH=MD又MB=MBRtMHBRtMDBHB=BDCD=AH=AB+BH=AB+BD推论1：设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC-MB=BC*AB证明：如图，作MDBC，由勾股定理得MC=CD+MDMB=BD+MDMC-MB=CD-BD=（CD+BD）（CD-BD）=BC*AB推论2：设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外。连接AB、AC、MB、MC，那么MB-MC=AB*BC证明：如图，取弧ABC的中点N，连接MN由推论1可知AB*BC=NC-NBM是弧AC的中点，易得弧CN=弧ABC/2，弧CM=弧AC/2且弧ABC+弧AMC=圆周360弧CN+弧CM=弧MN=180MN是直径C、B在圆上MCN=MBN=90勾股定理得NC+MC=NB+MB=MNNC-NB=MB-MC=AB*BC设D是ABC边BC上一点，且AB+BD=CD。作ABC的外接圆，有如下逆定理：取弧ABC的中点M，连接MD，则MDBC。证明：不妨作MDBC于D，根据定理有AB+BD=CDAB+BD=CDCD-BD=CD-BD=ABD与D重合MDBC作DMBC交弧ABC于M，
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