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射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 在RtABC中,ABC=90,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下BD=ADCDAB=ACADBC=CDAC 在圆内接四边形ABCD中,ACBD,自对角线的交点P向一边作垂线,其延长线必平分对边 由PDC+ACD=90,PDC+HPD=90推出ACD=HPD推出ABD=MPB推出BM=PM 由ABD+BAC=90及推出BAC+MPB=90 由MPA+MPB=90及推出BAC=MPA推出AM=PM 联即得AM=BM推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线,必过以其对边为一边,以交点为顶点的三角形的外心。“过圆O上弧AB的中点,作弦AB的垂线,则垂足必将弦AB平分。”方法1:补短法如图,延长DB至F,使BF=BA M是弧ABC的中点MCA=MAC=MBCMBAC四点共圆MCA+MBA=180MBC+MBF=180MBA=MBFMB=MB,BF=BAMBFMBAF=MAB=MCBMF=MCMDCFCD=DF=DB+BF=AB+BD阿基米德折弦定理方法2:截长法如图,在CD上截取DG=DBMDBGMB=MG,MGB=MBC=MACM是弧ABC的中点MAC=MCA=MGB即MGB=MCB+BCA=MCB+BMA又MGB=MCB+GMCBMA=GMCMA=MCMBAMGCAB=GCCD=CG+GD=AB+BD阿基米德折弦定理方法3:垂线法如图,作MH射线AB,垂足为H。M是弧ABC的中点MA=MCMDBCMDC=90=HMAB=MCBMHAMDCAH=CD,MH=MD又MB=MBRtMHBRtMDBHB=BDCD=AH=AB+BH=AB+BD推论1:设M是弧AC的中点,在弧AM上取一点B,连接AB、MB、MC、BC,那么MC-MB=BC*AB证明:如图,作MDBC,由勾股定理得MC=CD+MDMB=BD+MDMC-MB=CD-BD=(CD+BD)(CD-BD)=BC*AB推论2:设M是弧AC的中点,B在圆上,且在弧AMC外。连接AB、AC、MB、MC,那么MB-MC=AB*BC证明:如图,取弧ABC的中点N,连接MN由推论1可知AB*BC=NC-NBM是弧AC的中点,易得弧CN=弧ABC/2,弧CM=弧AC/2且弧ABC+弧AMC=圆周360弧CN+弧CM=弧MN=180MN是直径C、B在圆上MCN=MBN=90勾股定理得NC+MC=NB+MB=MNNC-NB=MB-MC=AB*BC设D是ABC边BC上一点,且AB+BD=CD。作ABC的外接圆,有如下逆定理:取弧ABC的中点M,连接MD,则MDBC。证明:不妨作MDBC于D,根据定理有AB+BD=CDAB+BD=CDCD-BD=CD-BD=ABD与D重合MDBC作DMBC交弧ABC于M,
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