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分段函数 分段函数 若函数在其定义域内 对于定义域内的不同取值区间 有着不同的对应关系 这样的函数通常叫做分段函数 分段函数虽然由几部分组成 但它表示的是一个函数 分段函数 两种 题型的求解策略 1 根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间 其次选定相应的解析式代入求解 2 已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时 应分类讨论 例1 已知函数若f f 1 3a2 则a的取值范围是 解析 由题知 f 1 2 1 3 f f 1 f 3 32 6a 若f f 1 3a2 则9 6a 3a2 即a2 2a 3 0 解得 1 a 3 练习 例2 已知 求f x 的定义域和值域 解 利用描点法 作出f x 的图象 如图所示 由已知条件 函数f x 的定义域为r 由图象知 当 1 x 1时 f x x2的值域为 0 1 当x 1或x 1时 f x 1 所以f x 的值域为 0 1 例3 已知函数 1 求f 5 f 3 f f 2 5 的值 2 若f a 3 求实数a的值 解 1 5 2 f 5 5 1 4 3 2 f 3 2 3 1 5 f 2 5 2 5 1 1 5 而 2 1 5 2 f f 2 5 f 1 5 1 5 2 2 1 5 0 75 2 若f a 3 则 a 1 3 解得a 2 舍去 a2 2a 3 解得a 3 舍去 或a 1 符合题意 2a 1 3 解得a 2 符合题意 综上可得 a 1或a 2 例4 设函数 若 则x0的取值范围是 解析 当x 0时 x2 1 解得 x1 所以x0时 x 8 1 解得 x 9 综上 可知 x0的取值范围是x9 故选d 小结 采取分类的方法 利用已知分段函数 把所求不等式化为分段的几个不等式 然后取不等式解集的并集 2 当x 0时 f g x f x 1 x 1 2 1 x2 2x 当x 0时 f g x f 2 x 2 x 2 1 x2 4x 3 所以同理可得 例5 已知f x x2 1 1 求f g 2 与g f 2 2 求f g x 与g
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