高中数学《1.3.2奇偶性》课件 新人教A版必修1.ppt

1 3 2奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 我们生活在美的世界中 有过许多对美的感受 如和谐美 自然美 对称美 下图中的图标给我们什么感觉呢 如果给下图中的图标建立适当的坐标系 我们不难发现它们有的关于y轴对称 有的关于坐标原点对称 图象关于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢 1 偶函数 1 定义 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x 那么函数f x 叫做偶函数 2 几何意义 定义域关于原点对称 图象关于对称 f x y轴 温馨提示 函数f x 是偶函数 对定义域内任意一个x 有f x f x 0 f x 的图象关于y轴对称 2 奇函数 1 定义 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有f x 那么函数f x 叫做奇函数 2 几何意义 定义域关于原点对称 图象关于对称 f x 原点 温馨提示 函数f x 是奇函数 对定义域内任意一个x 有f x f x 0 f x 的图象关于原点对称 3 奇偶性 1 定义 如果函数f x 是奇函数或是偶函数 那么就说函数f x 具有奇偶性 2 几何意义 定义域关于对称 图象关于原点或y轴对称 原点 温馨提示 函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质 是 整体性质 而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质 是 局部 性质 1 函数y x4 x2 a 是奇函数b 是偶函数c 既是奇函数又是偶函数d 既不是奇函数也不是偶函数解析 定义域是r f x x 4 x 2 x4 x2 f x 所以是偶函数 答案 b 解析 定义域是 1 1 不关于原点对称 所以既不是奇函数也不是偶函数 答案 d 4 2010 北京师大附中高一检测 已知函数f x ax2 bx 3a b是偶函数 且定义域为 a 1 2a 则a b 思路分析 利用函数奇偶性的定义判断 解 1 定义域为r f x x 3 x x3 x f x f x 为奇函数 2 定义域为 x x 1或x 1 定义域关于原点不对称 f x 为非奇非偶函数 3 定义域为 2 2 任取x 2 2 则 x 2 2 f x 0 f x f x f x 既是奇函数又是偶函数 温馨提示 证明函数奇偶性必须用定义 任取x d 则 x d f x f x 如果d不关于原点对称 立刻否定有奇偶性 因为它不满足任意x d 则 x d 判断函数奇偶性方法很多 如奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数等等 思路分析 由题目可获取以下主要信息 已知函数为分段函数 判断此函数的奇偶性 解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明 解 1 当x0 f x x 2 2 x 3 x2 2x 3 f x 2 当x 0时 x 0 f x x 2 2 x 3 x2 2x 3 x2 2x 3 f x 综上可知f x 为奇函数 温馨提示 1 对于分段函数奇偶性的判断 须特别注意x与 x所满足的对应关系 如x 0时 f x 满足f x x2 2x 3 x 0满足的不再是f x x2 2x 3 而是f x x2 2x 3 2 要对定义域内的自变量都要考察 如本例分为两种情况 如果本例只有 1 就说f x f x 从而判断它是奇函数是错误的 不完整的 3 分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断 类型二函数奇偶性的图象特征 例3 1 如下图 给出奇函数y f x 的局部图象 试作出y轴右侧的图象并求出f 3 的值 2 如下图 给出偶函数y f x 的局部图象 比较f 1 与f 3 的大小 并试作出它的y轴右侧的图象 思路分析 依据奇 偶函数的图象的对称性 分别作出它们在y轴右侧的部分图象 解 1 奇函数y f x 在y轴左侧图象上任一点p x f x 关于原点的对称点p x f x 下图为补充后的图象 易知f 3 2 2 偶函数y f x 在y轴右侧图象上任一点p x f x 关于y轴的对称点p x f x 下图为补充完后的图象 易知f 1 f 3 温馨提示 给出奇函数 或偶函数 在直角坐标平面内的某个半平面上的图象 要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇 偶函数图象的对称性 其过程是作出原图象几个关键点 图象的最高点 最低点 拐点等 关于原点或y轴的对称点 然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点 就作出了它们在另一个半平面的图象 温馨提示 本题主要考查函数的奇偶性 单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力 对思维能力要求较高 如果 赋值 不够准确 运算技能不过关 结果很难获得 解 1 函数定义域为r f x x 3 x 5 x3 x5 f x f x 是奇函数 2 函数的定义域为 x x 1 不关于原点对称 函数f x 既不是奇函数也不是偶函数 设奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如下图所示 则不等式f x 0的解集是 解析 如下图 根据y f x x 5 5 的图象知f x 0的解集为 x 2 x 0或2 x 5 答案 x 2 x 0或2 x 5 已知f x 是定义在r上的不恒为零的函数 且对任意的a b r都满足 f ab af b bf a 1 求f 0 f 1 的值 2 证明f x 为奇函数 解 1 令a b 0 f 0 0f 0 0f 0 0 令a b 1 f 1 1 f 1 1 f 1 2f 1 f 1 0 2 令a b 1 则f 1 0 f x f 1 x f x xf 1 f x 0 f x f x 为奇函数 3 1 若f x 是偶函数 则f