高中数学《第三章 函数的应用》本章小结 新人教A版必修1.ppt

本章小结 一 函数的零点与方程根的关系确定函数零点的个数有两个基本方法 一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断 二是判断区间 a b 上是否有零点 可应用f a f b 0判断 但还需结合函数的图象和单调性 特别是二重根容易漏掉 例1 求函数f x ex 4x 4的零点的个数 思路分析 可以利用计算机画出f x 的图象 利用图象的直观性直接判断 也可以利用函数的单调性及区间 a b 内存在零点的条件进行判断 或令f x 0 即有ex 4 1 x 然后在同一直角坐标系中作出y ex y 4 4x的图象 观察两图象交点的个数 解法一 利用计算机画出函数f x ex 4x 4的图象 如下图所示 可知函数有一个零点 且零点在 0 1 之间 解法二 函数f x 的图象是连续不断的 且f 0 30 f 0 f 1 0 又函数f x 在r上是增函数 函数f x 在 0 1 之间有且只有一个零点 解法三 根据函数零点与方程实根之间的关系 令f x 0 即有ex 4 4x 在同一直角坐标系中分别作出y ex y 4 4x的图象 如右图所示 由右图易知 两函数图象仅有一个公共点 故方程ex 4 4x有唯一实根 从而函数f x ex 4x 4有唯一的零点 温馨提示 对于一般函数零点个数的判断问题 不仅要用零点存在定理来判断区间 a b 上是否有f a f b 0 还需结合函数的单调性情况 其步骤是 1 用计算器或计算机列出x f x 的对应值表 2 用描点法作出函数的图象 3 取区间 a b 判断f a f b 0是否成立 4 判断函数f x 的单调性 5 结合单调性确定函数零点的个数 例2 若关于x的方程x2 m 1 x 1 0在 0 2 内有解 求m的取值范围 思路分析 构造函数 利用对称轴 判别式 端点函数值建立不等式组 解法二 由 0 m 3或m 1 若m 3 则x1 x20 x1 x2 1 方程有两个正根 且互为倒数 方程在 0 1 内必有一个根 方程在 0 2 内必有一个根 m 1 二 函数模型及应用把握函数模型的分类 熟练掌握不同类型应用题的解题步骤 比较例题的类型 通过体会实例来掌握各类应用题的解法 函数模型的应用实例主要包含三个方面 1 利用给定的函数模型解决实际问题 2 建立确定性函数模型解决问题 3 建立拟合函数模型解决实际问题 例3 如图所示是某厂老板和工会主席所画的股东红利和工资增长的函数图 通过以下两图能说出老板和工会主席各持什么观点吗 思路分析 老板所画的两条线平行 说明其增长幅度相同 工会主席所画的两条线起点重合 说明随后的增长率有差异 解 老板和工会主席都选择一次函数来描述此问题 直线的倾斜程度就反映出了增长的快慢 老板从工资额增长的角度说明工资总额和股东红利在数量上同步增长 工会主席从增长率的角度说明股东红利提高的速度比工资总额提高的速度要快 例4 某租赁公司拥有汽车100辆 当每辆车的月租金为3000元时 可全部租出 当每辆车的月租金每增加50元 未租出的车将会增加1辆 租出的车每辆每月需要维护费150元 未租出的车每辆每月需要维护费50元 1 当每辆车的月租金定为3600元时 能租出多少辆车 2 每辆车的月租金定为多少元时 租赁公司的月收益最大 最大月利益是多少 思路分析 1 先求出未租出的车辆数 2 收益 租车总收入 已租车辆维护费 未租车辆维护费 例5 某商场经营一批进价是30元 件的商品 在市场试销中发现 此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系 1 在所给坐标系中 根据表中提供的数据描出实数对 x y 对应的点 并确定y与x的一个函数关系式y f x 2 设经营此商品的日销售利润为p元 根据上述关系写出p关于x的函数关系式 并指出销售单价x为多少元时 才能获得最大的日销售利润 思路分析 依据表中的数据作为点的坐标画出散点图 再确定模拟函数来解决 解 1 根据上表作图 如下图中点 30 60 40 30 45 15 50 0 它们近似在同一条直线上 设它们共线于直