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专题研究一元二次方程根的分布 1 一元二次方程的根的基本分布 零分布所谓一元二次方程根的零分布 指的是方程的根相对于零的关系 比如二次方程有一正根 有一负根 其实就是指这个二次方程一个根比零大 一个根比零小 或者说 这两个根分布在零的两侧 设一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实根为x1 x2 且x1 x2 2 一元二次方程的根的非零分布 k分布设一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根为x1 x2 且x1 x2 k为常数 则一元二次方程根的k分布 即x1 x2相对于k的位置 有以下若干定理 定理3 x1 k x2 af k 0 推论1x1 0 x2 ac 0 推论2x1 1 x2 a a b c 0 定理4 有且仅有k1 x1 或x2 k2 f k1 f k2 0 例1 1 若一元二次方程 m 1 x2 2 m 1 x m 0有两个正根 求m的取值范围 答案 0 1 2 若一元二次方程kx2 3kx k 3 0的两根都是负数 求k的取值范围 3 k在何范围内取值 一元二次方程kx2 3kx k 3 0有一个正根和一个负根 答案 0 3 4 若一元二次方程kx2 2k 1 x k 3 0有一根为零 则另一根是正根还是负根 解析 由已知k 3 0 k 3 代入原方程得3x2 5x 0 另一根为负 答案 负根 例2 1 已知方程x2 11x m 2 0的两实根都大于1 求m的取值范围 2 若一元二次方程mx2 m 1 x 3 0的两个实根都大于 1 求m的取值范围 3 若一元二次方程mx2 m 1 x 3 0的两实根都小于2 求m的取值范围 5 已知方程x2 m 2 x 2m 1 0有一实根在0和1之间 求m的取值范围 6 已知方程x2 m 2 x 2m 1 0的较大实根在0和1之间 求m的取值范围 变式 改为较小实根 7 若方程x2 k 2 x k 0的两实根均在区间 1 1 内 求k的取值范围 8 若方程x2 k 2 x 2k 1 0的两根中 一根在0和1之间 另一根在1和2之间 求k的取值范围 9
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