必修4 第三章 三角恒等变换测试题

第 1 页 共 14 页 第三章测试第三章测试 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每题 5 分 共 60 分 在每小题 给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 sin105 cos105 的值为 A B 1 4 1 4 C D 3 4 3 4 解析 原式 sin210 sin30 1 2 1 2 1 4 答案 B 2 若 sin2 则 cos sin 的值是 1 4 4 2 A B 3 2 3 2 C D 3 4 3 4 解析 cos sin 2 1 sin2 1 1 4 3 4 又 4 2 cos sin cos sin 3 4 3 2 答案 B 第 2 页 共 14 页 3 已知 180 270 且 sin 270 则 tan 4 5 2 A 3 B 2 C 2 D 3 答案 D 4 在 ABC 中 A 15 则 sinA cos B C 的值为 3 A B 2 2 2 C D 2 3 2 解析 在 ABC 中 A B C sinA cos B C 3 sinA cosA 3 2 sinA cosA 3 2 1 2 2cos 60 A 2cos45 2 答案 A 5 已知 tan 则 cos2 sin2 等于 1 3 1 2 A B 6 5 4 5 C D 4 5 6 5 解析 原式 cos2 sin cos cos2 sin2 1 tan 1 tan2 6 5 答案 D 6 在 ABC 中 已知 sinAcosA sinBcosB 则 ABC 是 第 3 页 共 14 页 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 解析 sin2A sin2B A B 或 A B 2 答案 D 7 设 a sin17 cos17 b 2cos213 1 c 则 2 2 3 2 A c a b B b c a C a b c D b acos28 cos30 即 b a c 答案 A 8 三角形 ABC 中 若 C 90 则 tanA tanB 与 1 的大小关系 为 A tanA tanB 1 B tanA tanB90 A B 分别都为锐 角 则有 tanA 0 tanB 0 tanC 0 第 4 页 共 14 页 又 C A B tanC tan A B 0 即 tanA tanB 1 答案 B 9 函数 f x sin2 sin2是 x 4 x 4 A 周期为 的奇函数 B 周期为 的偶函数 C 周期为 2 的奇函数 D 周期为 2 的偶函数 解析 f x sin2 sin2 x 4 x 4 cos2 sin2 4 x x 4 cos2 sin2 x 4 x 4 cos 2x 2 sin2x 答案 A 10 y cosx cosx sinx 的值域是 A 2 2 B 1 2 2 2 C D 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 第 5 页 共 14 页 解析 y cos2x cosxsinx sin2x 1 cos2x 2 1 2 1 2 2 2 2 2 sin2x 2 2 cos2x sin 2x x R 1 2 2 2 4 当 sin 1 时 y 有最大值 2x 4 1 2 2 当 sin 1 时 y 有最小值 2x 4 1 2 2 值域为 1 2 2 1 2 2 答案 C 11 的值是 2cos10 sin20 sin70 A B 1 2 3 2 C D 32 解析 原式 2cos 30 20 sin20 sin70 2 cos30 cos20 sin30 sin20 sin20 sin70 3cos20 cos20 3 答案 C 12 若 为锐角 cos cos 2 则 cos 12 13 3 5 第 6 页 共 14 页 的值为 A B 56 65 16 65 C 或 D 以上都不对 56 65 16 65 解析 0 0 12 13 0 sin 2 5 13 0 2 0 3 5 0 2 sin 2 2 4 5 cos cos 2 cos 2 cos sin 2 sin 3 5 12 13 4 5 5 13 56 65 答案 A 二 填空题 本大题共 4 小题 每题 5 分 共 20 分 将答案填 在题中横线上 13 已知 为锐角 且 cos sin 则 tan 解析 cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos 为锐角 sin cos 0 cos sin tan 1 第 7 页 共 14 页 答案 1 14 已知 cos2 则 sin4 cos4 1 3 解析 cos2 1 3 sin22 8 9 sin4 cos4 sin2 cos2 2 2sin2 cos2 1 sin22 1 1 2 1 2 8 9 5 9 答案 5 9 15 sin 30 cos 60 2cos 解析 sin 30 cos 60 sin cos30 cos sin30 cos cos60 sin sin60 cos 原式 cos 2cos 1 2 答案 1 2 16 关于函数 f x cos 2x cos 2x 则下列命题 3 6 y f x 的最大值为 2 y f x 最小正周期是 y f x 在区间上是减函数 24 13 24 第 8 页 共 14 页 将函数 y cos2x 的图象向右平移个单位后 将与已知函 2 24 数的图象重合 其中正确命题的序号是 解析 f x cos cos 2x 3 2x 6 cos sin 2x 3 2 2x 6 cos sin 2x 3 2x 3 2 2 2 cos 2x 3 2 2 sin 2x 3 cos 2 2x 3 4 cos 2 2x 12 y f x 的最大值为 最小正周期为 故 正确 2 又当 x 时 2x 0 y f x 在上 24 13 24 12 24 13 24 是减函数 故 正确 由 得 y cos2 cos 故 正确 2 x 24 2 2x 12 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知向量 m n sinx 1 m 与 n cos 2 3 1 第 9 页 共 14 页 为共线向量 且 2 0 1 求 sin cos 的值 2 求的值 sin2 sin cos 解 1 m 与 n 为共线向量 1 1 sin 0 cos 2 3 即 sin cos 2 3 2 1 sin2 sin cos 2 2 9 sin2 7 9 sin cos 2 1 sin2 16 9 又 sin cos 0 2 0 sin cos 4 3 sin2 sin cos 7 12 18 12 分 求证 2 2sin 3 4 cos 4 cos4 sin4 1 tan 1 tan 证明 左边 2 2sin 4 2 cos 4 cos2 sin2 cos2 sin2 第 10 页 共 14 页 2 2cos2 4 cos2 sin2 1 cos 2 2 cos2 sin2 1 sin2 cos2 sin2 sin cos 2 cos2 sin2 cos sin cos sin 1 tan 1 tan 原等式成立 19 12 分 已知 cos x x 4 2 10 2 3 4 1 求 sinx 的值 2 求 sin的值 2x 3 解 1 解法 1 x 2 3 4 x 4 4 2 于是 sin x 4 1 cos2 x 4 7 2 10 sinx sin x 4 4 sincos cossin x 4 4 x 4 4 7 2 10 2 2 2 10 2 2 第 11 页 共 14 页 4 5 解法 2 由题设得 cosx sinx 2 2 2 2 2 10 即 cosx sinx 1 5 又 sin2x cos2x 1 从而 25sin2x 5sinx 12 0 解得 sinx 或 sinx 4 5 3 5 因为 x 所以 sinx 2 3 4 4 5 2 x 故 2 3 4 cosx 1 sin2x 1 4 5 2 3 5 sin2x 2sinxcosx 24 25 cos2x 2cos2x 1 7 25 sin 2x 3 sin2xcos cos2xsin 3 3 24 7 3 50 第 12 页 共 14 页 20 12 分 已知向量 a b c cos 3x 2 sin3x 2 cos x 2 sin x 2 1 其中 x R 3 1 当 a b 时 求 x 值的集合 2 求 a c 的最大值 解 1 由 a b 得 a b 0 即 coscos sinsin 0 3x 2 x 2 3x 2 x 2 则 cos2x 0 得 x k Z k 2 4 x 值的集合是Error 2 a c 2 2 2 cos 3x 2 3 sin 3x 2 1 cos2 2cos 3 sin2 2sin 1 3x 23 3x 2 3x 2 3x 2 5 2sin 2cos 5 4sin 3x 23 3x 2 3x 2 3 则 a c 2的最大值为 9 a c 的最大值为 3 21 12 分 某工人要从一块圆心角为 45 的扇形木板中割出一块 一边在半径上的内接长方形桌面 若扇形的半径长为 1 cm 求割出 的长方形桌面的最大面积 如图 第 13 页 共 14 页 解 连接 OC 设 COB 则 0 0 的最 小正周期为 1 求 的值 2 将函数 y f x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 纵坐 1 2 标不变 得到函数 y g x 的图象 求函数 g x 在区间上的最 0 16 第 14 页 共 14 页 小值 解 1 因为 f x sin x cos x cos2 x 所以 f x sin xcos x 1