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导数与零点考点一。求参数取值范围（1）设函数,若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 解：(1) , 因为 当时, ;当时, ;当时, ;所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ;故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.（2）已知函数,若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解：因为在处取得极大值，所以所以由解得。在处取得极大值，在处取得极小值，又直线与函数的图象有三个不同点，则的范围是。（3）已知函数，若曲线与直线 有两个不同的交点,求的取值范围.解:由,得，令,得. 函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,是的最小值. 当时,曲线与直线最多只有一个交点; 当时,与直线有且只有两个不同交点.综上可知,的取值范围是. (4）已知函数，若直线与曲线没有公共点,求的最大值.解:，直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: 在上没有实数解. 当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. 考点二。判断零点个数，证明（1）已知函数. 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. 证明： 所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1). (2)已知函数,判断函数f(x)在（0，）内的零点个数，并加以证明。解： 当时，在上单调递增， 在上有唯一零点当时，当上单调递减，存在唯一使。由得：函数在内有两个零点。（3）已知函数，证明：对任意的在区间内均存在零点解：，令，解得当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：（1）当时，在（0，1）内单调递减，所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。（2） 当时，在内单调递减，在内单调递增， 若，所以内存在零点。若，所以内存在零点。所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。（4）已知是实数，1和是函数的两个极值点，设，其中，求函数的零点个数解：由，得，1和是函数的两个极值点， ，解得，则 ， 令，则，先讨论关于 的方程 根的情况：。当时，的两个不同的根为1 和一2 ，是奇函数，的两个不同的根为-1和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。， 当时， ，于是是单调增函数，从而，此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足，现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11
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