江苏省常州市2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 25 页） 2015年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷 一、填空题（共 10 小题，每小题 2分，满分 20分） 1计算： 2如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次当转盘停止转动时，指针指向大于 5的数的概率为 3在比例尺为 1： 38000 的扬州旅游地图上，某条道路的长为 7这条道路的实际长度为 4已知关于 x 的一元二次方程 2x+k=0 的一个根是 3，则另一个根是 5一个圆锥的底面半径为 10线长为 20该圆锥的侧面积是 6如图，跷跷板 一端 B 碰到地面， 地面的夹角为 18，且 B=3 米，跷动 端点 A 碰到地面，在此过程中，点 A 运动路线的长是 7如图，已知 半圆 O 的直径， 0， D 是弧 任意一点，则 D 的度数是 8如图， D、 E 分别是 边 的点， S S ： 3，则 S 第 2 页（共 25 页） 9如图， O 的弦， 0，点 C 是 O 上的一个动点，且 5，若点 M、 N 分别是中点，则 的最大值是 10如图，在 ， C=5 P 从点 A 出发沿 向以 1cm/s 的速度做匀速运动，点 D 在 且 满足 A，则当运动时间 t= s 时，以点 C 为圆心，以半径的圆与 切 二、选择题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 11下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是（ ） A =0 B x2+x+1=0 C x+1=0 D x 1=0 12近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了 “建设宜居成都，关注环境保护 ”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如 下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 4 8 12 11 5 则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ） A 70 分， 80 分 B 80 分， 80 分 C 90 分， 80 分 D 80 分， 90 分 13如图，已知在 ，点 D、 E、 F 分别是边 的点， ： 5，那么 于（ ） 第 3 页（共 25 页） A 5： 8 B 3： 8 C 3： 5 D 2： 5 14某商品原价 200 元，连续两次降价 a%后售价为 148 元，下列所列方程正确的是（ ） A 200（ 1+a%） 2=148 B 200（ 1 a%） 2=148 C 200（ 1 2a%） =148 D 148（ 1+a%） 2=200 15如图，将宽为 1纸条沿 叠，使 5，则折叠后重叠部分的面积为（ ） A 6在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A、 B、 C 的坐标分别为 A（ ， 0）、 B（ 3 ，0）、 C（ 0， 5），点 D 在第一象限内，且 0，则线段 长的最小值是（ ） A 2 2 B 2 C 2 D 2 三、解答题（共 9小题，满分 62分） 17解方程：（ x 2） 2=x 18计算： 19一只不透明的袋子中装有三个分别标记数字 1， 2， 3 的小球，这些球除标记数字外完全相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录数字后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球，求摸到的两个小球数字之积为正数的概率（画出树状图或列出表格） 20甲、乙两 支篮球队进行了 5 场选拔赛，比赛成绩绘制成图 、图 第 4 页（共 25 页） （ 1）在图 中画出折线统计图表示乙队这 5 场比赛成绩的变化情况； （ 2）分别求甲、乙两队这 5 场比赛成绩的平均数和方差； （ 3）根据计算结果和折线统计图，你认为哪支球队参赛更能取得好成绩？ 21如图，矩形空地的长为 13 米，宽为 8 米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 28 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 22如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 个单位的小正方形，点 A、 B、 C 都是格点如图，在一竖直平台 点 B 处，测得楼房 部点 D 的仰角为 45，底部点 C 的俯角为 30已知楼高 100 米，求平台的高度 24如图，已知 直径的 O 交 点 D，点 E 为 的中点，连结 点 F，且 C （ 1）判断直线 O 的位置关系，并 说明理由； 第 5 页（共 25 页） （ 2）若 O 的半径为 2， ，求 长 25如图 1，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（ 3， 0），以点 M 为圆心， 5 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A、 B、 C、 D （ 1） 似吗？为什么？ （ 2）如图 2，弦 x 轴于点 P，且 ： 2，求 （ 3）如图 3，过点 D 作 M 的切线，交 x 轴于点 Q点 G 是 M 上的动点，问比值 是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由 第 6 页（共 25 页） 2015年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共 10 小题，每小题 2分，满分 20分） 1计算： 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据 直接解答即可 【解答】解： 【点评】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键 2如图，转盘中 8 个扇形的面积都相等，任意转动转盘 1 次当转盘停止转动时，指针指向大于 5的数的概率为 【考点】概率公式 【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】解： 共 8 个数，大于 5 的有 3 个 ， P（大于 5） = ； 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（ A） = 第 7 页（共 25 页） 3在比例尺为 1： 38000 的扬州旅游地图上，某条道路的长为 7这条道路的实际长度为 【考点】比例线段 【专题】计算题 【分析】根据比例尺 =图 上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可 【解答】解：设这条道路的实际长度为 x，则： = 解得 x=266000 这条道路的实际长度为 【点评】能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换 4已知关于 x 的一元二次方程 2x+k=0 的一个根是 3，则另一个根是 1 【考点】根与系数的关系 【分析】把方程的一个根 3 代入方程得到关于 k 的方程，解方程 求出 k 的值根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根 【解答】解：把方程的一个根 3 代入方程有： 9 6+k=0， 解得 k= 3； 设方程的另一个根是 ： 3+， 解得 1 即另一个根是 1 故答案为： 1 【点评】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系；把方程的解代入方程求出字母系数 k 的值是解决问题的关键 5一个圆锥的底面半径为 10线长为 20该圆锥的侧面积是 200 【考点】圆锥的计算 【分析】圆锥的侧面积 =底面半径 母线长 ，把相关数值代入计算即可 第 8 页（共 25 页） 【解答】解： 圆锥的底面半径长为 10线长为 20 圆锥的侧面积为 1020=200 故答案为 200 【点评】考查圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积计算公式是解决本题的关键 6如图，跷跷板 一端 B 碰到地面， 地面的夹角为 18，且 B=3 米，跷动 端点 A 碰到地面，在此过程中，点 A 运动路线的长是 【考点】弧长的计 算 【专题】应用题 【分析】以点 O 为圆心， 为半径画弧，交地面于点 D，则 就是端点 A 运动的路线；根据弧长公式即可求得 【解答】解：以点 O 为圆心， 为半径画弧，交地面于点 D，则 就是端点 A 运动的路线 端点 A 运动路线的长为 = 答：端点 A 运动路线的长为 m 【点评】本题考查了弧长的计算以及学生利用三角函数解决实际问题的能力这就要求学生把实际问题转化为直角三角形的问题，利用三角函数解决问题 7如图，已知 半圆 O 的直径， 0， D 是弧 任意一点，则 D 的度数是 110 第 9 页（共 25 页） 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理 【专题】计算题 【分析】 D 是圆内接四边形 一个角，根据圆内接四 边形的对角互补，只要求出 B 即可，根据 直径，则 直角三角形，根据内角和定理即可求解 【解答】解： 半圆 O 的直径 0 0 20=70 D=180 70=110 故答案是： 110 【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，以及圆内接四边形的性质：对角互补 8如图， D、 E 分别是 边 的点， S S ： 3，则 S 1： 16 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】证明 ： 3，得出 ： 4；证明 到 = ，由相似三角形的性质即可解决问题 【解答】解： S S ： 3， ： 3； ： 4； = ， S S ） 2= ； 故答案为： 1： 16 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答 9如图， O 的弦， 0，点 C 是 O 上的一个动点，且 5，若点 M、 N 分别是中点，则 的最大值是 5 【考点】三角形中位线定理；圆周角定理 【分析】根据中位线定理得到 最大时， 大，当 大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值 【解答】解： 点 M， N 分别是 中点， 当 得最大值时， 取得最大值， 当 直径时，最大，如图所示， D=45， 0， 0， 0 ， ， 故答案为： 5 【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候 值最大，难度不大 第 11 页（共 25 页） 10如图，在 ， C=5 P 从点 A 出发沿 向以 1cm/s 的速度做匀速运动，点 D 在 且满足 A，则当运动时间 t= 1 s 时，以点 C 为圆心，以 半径的圆与 切 【考点】切线的判定 【分析】作 E，根据等腰三角形的性质得出 E=3，根据勾股定理求得 ，即可求得 C 的半径为 4，进一步求得 ，根据证得 出 = ，从而求得 t 的值 【解答】解：作 E， C=5 E=3 =4 C 与 切 E=4 4=1 C， A= B， A+ A， = ，即 = 解得 ， （不合题意，舍去） 故答案为 1 第 12 页（共 25 页） 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，切线的性质三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键 二、选择题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 11下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是（ ） A =0 B x2+x+1=0 C x+1=0 D x 1=0 【考点】根的判别式 【专题】计算题 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于 0 的方程即可 【解答】解： A、这里 a=1， b=0， c=1， =4 4 0， 方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里 a=1， b=1， c=1， =4 4= 3 0， 方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里 a=1， b= 1， c=1， =4 4= 3 0， 方程 没有实数根，本选项不合题意； D、这里 a=1， b= 1， c= 1， =4+4=5 0， 方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选 D 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键 12近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了 “建设宜居成都，关注环境保护 ”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下： 成绩（分） 60 70 80 90 100 人数 4 8 12 11 5 则该班学生成绩的众数和中位 数分别是（ ） A 70 分， 80 分 B 80 分， 80 分 C 90 分， 80 分 D 80 分， 90 分 第 13 页（共 25 页） 【考点】众数；中位数 【分析】先求出总人数，然后根据众数和中位数的概念求解 【解答】解：总人数为： 4+8+12+11+5=40（人）， 成绩为 80 分的人数为 12 人，最多， 众数为 80， 中位数为第 20 和 21 人的成绩的平均值， 则中位数为： 80 故选： B 【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中 间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 13如图，已知在 ，点 D、 E、 F 分别是边 的点， ： 5，那么 于（ ） A 5： 8 B 3： 8 C 3： 5 D 2： 5 【考点】平行线分线段成比例 【分析】先由 ： 5，求得 比，再由 据平行线分线段成比例定理，可得 D： 后由 据平行线分线段成比例定理，可得 E： 可求得答案 【解答】解： ： 5， ： 8， D： ： 8， E： ： 8 故选 A 第 14 页（共 25 页） 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键 14某商品原价 200 元，连续两次降价 a%后售价为 148 元，下列所列方程正确的是（ ） A 200（ 1+a%） 2=148 B 200（ 1 a%） 2=148 C 200（ 1 2a%） =148 D 148（ 1+a%） 2=200 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】等量关系为：原价 （ 1降低的百分比） 2=148，把相关数值代入即可 【解答】解：第一次降价后的价格为 200（ 1 a%）， 第二次降价后的价格为 200（ 1 a%） 2， 可列方程为 200（ 1 a%） 2=148 故选 B 【点评】考查列一元二次方程；得到降价后价格的等量关系是解决本题的关键 15如图，将宽为 1纸条沿 叠， 使 5，则折叠后重叠部分的面积为（ ） A 考点】解直角三角形的应用 【分析】由题可知 一个顶角为 45的等腰三角形，即 A=45， B，过 C 作 足为 D，根据三角函数定义求出 后就可以求出 积 【解答】解：如图，由题可知 一个顶角为 45的等腰三角形， 即 A=45， B 作 足为 D， 则 A= ， 第 15 页（共 25 页） = = S D= ， 折叠后重叠部分的面积为 故选 D 【点评】此题考查了正弦的概念和应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到直角三角形中 16在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点 A、 B、 C 的坐标分别为 A（ ， 0）、 B（ 3 ，0）、 C（ 0， 5），点 D 在第一象限内，且 0，则线段 长的最小值是（ ） A 2 2 B 2 C 2 D 2 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；圆周角定理 【分析】作圆，求出半径和 长度，判出点 D 只有在 时 短， P 解 【解答】解：作圆，使 0，设圆心为 P，连结 E，如图所示： A（ ， 0）、 B（ 3 ， 0）， E（ 2 ， 0） 又 0， 20， ， ， P（ 2 ， 1）， C（ 0， 5）， =2 ， 又 A=2， 只有点 D 在线段 时， 短（点 D 在别的位置时构成 小值为： 2 2 第 16 页（共 25 页） 故选： C 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点 D 只有在 时 短 三、解答题（共 9小题，满分 62分） 17解方程：（ x 2） 2=x 【考点】解 一元二次方程 【分析】首先把方程化为一般形式，进一步利用因式分解法求得方程的解即可 【解答】解：（ x 2） 2=x 4x+4=x 5x+4=0 （ x 1）（ x 4） =0， 解得： ， 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题即可 18计算： 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据特 殊角的三角函数值，可得 值，代入原式可得答案 【解答】解：原式 = = 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，要求学生准确记忆 第 17 页（共 25 页） 19一只不透明的袋子中装有三个分别标记数字 1， 2， 3 的小球，这些球除标记数字外完全相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录数字后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球，求摸到的两个小球数字之积为正数的概率（画出树状图或 列出表格） 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到的两个小球数字之积为正数的情况，然后由概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，摸到的两个小球数字之积为正数的有 5 种情况， 摸到的两个小球数字之积为正数的概率为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 20甲、乙两支篮球队进行了 5 场选拔赛，比赛成绩绘制成图 、图 （ 1）在图 中画出折线统计图表示乙队这 5 场比赛成绩的变化情况； （ 2）分别求甲、乙两队这 5 场比赛成绩的平均数和方差； （ 3）根据计算结果和折线统计图，你认为哪支球队参赛更能取得好成绩？ 【考点】方差；条形统计图；折线统计图；算术平均数 【专题】图表型 第 18 页（共 25 页） 【分析】（ 1）根据条形统计图提供的数据画图即可； （ 2）根据平均数和方差的计算公式列式计算即可； （ 3）根据甲、乙两队这 5 场比赛成绩的平均数和方差的结果，在平均数相同的情况下，选出方差较小的即可 【解答】解：（ 1）根据题意如图： （ 2） 甲 = =90（分） x乙 = =90（分） s 甲 2= = s 乙 2= = （ 3）两队比赛的平均数相同，说明两队的实力大体相当； 从方差来看，甲队的方差较小，说明甲队的比赛成绩更稳定，因此甲队参赛更能取得好成绩 【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 第 19 页（共 25 页） 21如图，矩形空地的长为 13 米，宽为 8 米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 28 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】设人行道的宽度为 x 米，根据矩形的面积和为 28 平方米列出一元二次方程求解即可 【解答】解：设人行道的宽度为 x 米，根据题意得， （ 13 3x）（ 8 2x） =28， 解得： ， （不合题意，舍去） 答：人行道的宽为 2 米 【点评】本题考 查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为 28于基础题，比较简单 22如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 个单位的小正方形，点 A、 B、 C 都是格点如图，在一竖直平台 点 B 处，测得楼房 部点 D 的仰角为 45，底部点 C 的俯角为 30已知楼高 100 米，求平台的高度 【考点】解直角三角形的应用 【分析】设平台 高度的高度为 h，过点 B 作 点 E，根据题意得到 5， 0推出四边形 矩形根据矩形的性质得到 B=h根据三角函数的定义得到Eh = h E= h根据 E+DE=h（ +1） =100，即可得到结论 第 20 页（共 25 页） 【解答】解：如图，设平台 高度的高度为 h，过点 B 作 点 E， 根据题意， 5， 0 四边形 矩形 B=h 在 ， ， Eh = h 在 ，由 5， 得 E= h E+DE=h（ +1） =100， 解得： h= =50 50， 答：平台的高度为（ 50 50）米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形 24如图，已知 直径的 O 交 点 D，点 E 为 的中点，连结 点 F，且 C （ 1）判断直线 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）若 O 的半径为 2， ，求 长 第 21 页（共 25 页） 【考点】切线的判定 【分析】（ 1）连接 出 0，推出 出 0，根 据切线的判定推出即可 （ 2）根据 ， = ，求出 ， ， ， ，根据 E= 出 EA=x， x，由勾股定理得出 6，求出即可 【解答】（ 1） O 相切 证明：连接 O 的直径 E=90， 0， C， E 为弧 点， 0， 直径， O 的切线 （ 2）解：