高考数学 专题辅导与训练 2.1《函数的图象与性质》课件 文.ppt

热点考向1函数及其表示 例1 1 2011 广东高考 函数的定义域是 a 1 b 1 c 1 1 1 d 2 2011 江苏高考 已知实数a 0 函数若f 1 a f 1 a 则a的值为 解题指导 1 由分母不为零和对数的真数为正 列不等式组求得 2 解题的关键是考虑f 1 a 和f 1 a 需要代入解析式的哪一段 因而需讨论1 a和1 a与1的大小关系 即a与0的大小关系 构造关于a的方程求解 规范解答 1 选c 要使函数有意义当且仅当解得x 1且x 1 从而定义域为 1 1 1 故选c 2 当a 0时 a 0 则1 a 1 1 a 1 所以有f 1 a 2 1 a a 2 a f 1 a 1 a 2a 1 3a 由f 1 a f 1 a 得2 a 1 3a 解得不符合题意舍去 当a 0时 a 0 则1 a 1 1 a 1 所以有f 1 a 1 a 2a 1 a f 1 a 2 1 a a 2 3a 又f 1 a f 1 a 所以 1 a 2 3a 解得答案 变式备选 若将本例 2 中 f 1 a f 1 a 变为 f 1 a f 1 a 则a的取值范围如何 解析 当a 0时 由f 1 a f 1 a 得 2 2a a 1 a 2a 解得又a 0 所以a 0 当a 0时 由f 1 a f 1 a 得 1 a 2a 2 2a a 解得综上可知a的取值范围为 或a 0 求函数定义域的方法 1 根据具体函数y f x 求定义域时 只要构建使解析式有意义的不等式 组 求解即可 2 根据抽象函数求定义域时 若已知函数f x 的定义域为 a b 其复合函数f g x 的定义域由不等式a g x b求出 若已知函数f g x 的定义域为 a b 则f x 的定义域为g x 在x a b 时的值域 1 定义域必须写成集合或区间的形式 2 求f g x 类型的函数值时 遵循先内后外的原则 3 对于分段函数问题的求解 要依据条件准确地找出利用哪一段求解 不确定时要分类讨论 1 函数的定义域是 a 1 b 1 c 1 d 解析 选b 要使函数有意义则解得所以定义域为故选b 2 已知函数则f 2012 a 2012 b 2011 c 2010 d 2009 解析 选a x 0时 f x f x 1 1 f 2012 f 2011 1 f 2010 2 f 2009 3 f 0 2012 log2 1 0 2012 2012 热点考向2函数的图象及其应用 例2 1 2011 山东高考 函数的图象大致是 2 2011 新课标全国卷 函数的图象与函数y 2sin x 2 x 4 的图象所有交点的横坐标之和等于 a 2 b 4 c 6 d 8 解题指导 1 先通过解析式研究其奇偶性 知其过原点 再分析其当x 2 时 y 4 及x 时 f x 的情况 结合图象作出选择 2 画出y 2sin x和的图象 然后根据图象探究交点横坐标之间满足的关系 规范解答 1 选c 由知该函数为奇函数 令f 0 0 故排除a 又排除b 而x 时 f x 排除d 故选c 2 选d 由题意知的图象是双曲线 且关于点 1 0 成中心对称 又y 2sin x的周期为且也关于点 1 0 成中心对称 因此两图象的交点也一定关于点 1 0 成中心对称 再结合图象 如下图所示 可知两图象在 2 4 上有8个交点 因此8个交点的横坐标和x1 x2 x8 4 2 8 1 作图 识图 用图技巧 1 作图 常用描点法中平移变换或对称变换 2 识图 从图象与轴的交点及左 右 上 下分布范围 变化趋势 对称性等方面 找准解析式与图象的对应关系 3 用图 图象形象地显示了函数的性质 因此 函数的性质的确定与应用及一些方程 不等式的求解常与图象数形结合研究 2 函数图象的对称性 1 若函数y f x 满足f a x f a x 即f x f 2a x 则f x 的图象关于直线x a对称 2 若函数y f x 满足f a x f a x 即f x f 2a x 则f x 的图象关于点 a 0 对称 3 若函数y f x 满足f a x f b x 则函数f x 的图象关于直线对称 对于平移变换 平移的方向为左加右减 上加下减 已知图1是函数y f x 的图象 则图2中的图象对应的函数可能是 a y f x b y f x c y f x d y f x 解析 选b 由图1知f x 为奇函数 图2为偶函数 又当x 0时 图2中的图象与图1中的图象关于x轴对称 故y f x f x f x 而当x 0时 图2中的图象与图1中的图象一致 故y f x f x 综上 图2中的图象对应的函数解析式为y f x 热点考向3函数性质的综合应用 例3 12分 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 1 求f 2012 的值 2 求证 函数f x 的图象关于直线x 2对称 3 若f x 在区间 0 2 上是增函数 试比较f 25 f 11 f 80 的大小 解题指导 本题综合考查了函数的单调性 奇偶性 周期性 对称性 最值 值域 等函数的性质 解答此题 1 需要先探究f x 的周期性 再求f 2012 2 只需证明 f 2 x f 2 x 即可 3 先利用周期性 奇偶性将f 25 f 11 f 80 调节到f x 的同一单调区间上 再进行比较 规范解答 1 f x 4 f x f x f x 4 f x 4 4 f x 8 知函数f x 的周期为t 8 2分所以f 2012 f 251 8 4 f 4 f 4 4 f 0 又f x 为定义在r上的奇函数 f 0 0 故f 2012 0 5分 2 f x f x 4 f x 2 f x 2 4 f x 2 f 2 x 知函数f x 的图象关于直线x 2对称 8分 3 由 1 知f x 为以8为周期的周期函数 所以f 25 f 3 8 1 f 1 f 11 f 8 3 f 3 f 3 4 f 1 f 1 f 80 f 10 8 0 f 0 又f x 在 0 2 上是增函数 且f x 在r上为奇函数 所以f x 在 2 2 上为增函数 则有f 1 f 0 f 1 即f 25 f 80 f 11 12分 1 判断函数单调性的常用方法 1 能画出图象的一般用数形结合法去观察 2 由基本初等函数通过加 减运算或复合而成的函数 常转化为基本初等函数单调性的判断问题 3 对于解析式较复杂的一般用导数法 4 对于抽象函数一般用定义法 2 函数奇偶性的应用应用函数的奇偶性可先求参数的值 画关于原点对称区间上函数的图象 再求解析式 函数值 判断单调性 3 函数周期性的应用若t为f x 的一个周期 则f x nt f x n z 4 求函数最值 值域 常用的方法 1 单调性法 适合于已知或能判断单调性的函数 2 图象法 适合于已知或易作出图象的函数 3 基本不等式法 特别适合于分式结构或两元的函数 4 导数法 适合于可求导数的函数 1 对于同增 减 的不连续的单调区间不能写成并集 只能分开写 2 对于解析式较复杂的函数 可通过换元法 转化为熟悉的函数 再求最值 值域 1 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x x2 2x x 0 若f 3 a2 f 2a 则实数a的取值范围是 解析 因为f x x2 2x在 0 上是增函数 又因为f x 是r上的奇函数且f 0 0 所以函数f x 是r上的增函数 要使f 3 a2 f 2a 只需3 a2 2a 解得 3 a 1 答案 3 1 2 已知函数是奇函数 1 求实数m的值 2 若函数f x 在区间 1 a 2 上单调递增 求实数a的取值范围 解析 1 设x 0 则 x 0 所以f x x 2 2 x x2 2x 又f x 为奇函数 所以f x f x 于是x 0时 f x x2 2x x2 mx 所以m 2 2 要使f x 在 1 a 2 上单调递增 结合f x 的图象知所以1 a 3 故实数a的取值范围是 1 3 数形结合思想 解答函数性质问题数形结合思想 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数解形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 从形的直观和数的严谨两方面思考问题 拓宽了解题思路 函数性质问题的主要类型 1 函数单调性的确定与应用 2 函数奇偶性的确定与应用 3 函数最值 值域 的求解 4 比较函数值的大小问题 在解答函数性质问题中的用法及注意问题 1 在解答函数性质中的用法 将函数的单调性结合相应函数图象的升降求解 将函数的奇偶性结合相应函数图象的对称性求解 将函数的最值 值域 结合相应函数在待求区间上图象的最高点 最低点的纵坐标求解 将待比较函数值结合相应函数图象点的位置的高低求解 2 注意问题 一般先把所给函数化简变形为基本初等函数 较准确地画出函数的图象是求解关键 典例1 2011 天津高考 已知则 a a b c b b a c c a c b d c a b 解题指导 先将要比较a b c大小 关键是比较log23 4 log43 6 的大小关系 只需在同一坐标系中分别作出y log2x y log3x y log4x的图象 结合图象比较三个对数值 从而求解 规范解答 选c 因为在同一坐标系中分别作出函数y log2x y log3x y log4x的图象 如图所示 结合图象易知 又y 5x在r上为增函数 a c b 故选c 典例2 若点在幂函数f x 的图象上 点在幂函数g x 的图象上 定义试求函数h x 的最大值以及单调区间 解题指导 先由条件