等积变形定理及其应用Microsoft Word 文档.doc

小六2012年4.19讲课稿等积变形定理及其应用首都师范大学数学科学学院 周春荔对平面图形的面积，直观上要承认如下的两条性质：1. 两个图形完全重合，则这两个图形的面积相等。2. 把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积之和。这两条性质，是面积割补的理论基础。定理1.等底等高的两个三角形的面积相等。 推论1.三角形的一条中线平分这个三角形的面积. 推论2.梯形中，以腰为一边，第三个顶点为梯形对角线交点的两个三角形面积相等。反之，共底的两个三角形的面积相等.若第三个顶点落在底边的同侧，则连接第三顶点的直线与底边所在的直线平行.例1. 凸四边形ABCD的两组对边中点连线EF, GH相交于O.求证: 证明: 连接OD, OA，OB，OC.则 所以 例2.如图，四边形ABCD中，E和F分别为对角线BD和AC的中点. 过E、F的直线交AB和CD分别于M和N.已知ABN的面积为25平方厘米，求CDM的面积. 答：25. 解：因为E是BD的中点，则； 因为F是AC的中点，则. 相加即得 例3. 右图中ABCD是个直角梯形（）. 以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米. 连结BE交AD于P，连结PC. 求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？解：连接AE，BD. 因为AD/BC，则，又AB/ED，则.所以（平方厘米）. 例4.过梯形ABCD的顶点A作平行于腰DC的直线交下底BC于E点，交BD于点F. 已知三角形ABE的面积等于15，求三角形BCF的面积. 答：15. 解：因为F为梯形ABED对角线AE、BD的交点，所以三角形ABF的面积=三角形DEF的面积.连接DE. 三角形DEF的面积=三角形CEF的面积所以，三角形CBF的面积=三角形ABE的面积=15.例5. 在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使得线段EF平行于对角线BD.求证：三角形BCE与三角形CDF等积. 证明：BCE的面积=BDE的面积 =BDF的面积=CDF的面积例6. 四边形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点.已知 求证：AD/BC. 证明：连接AN，DN.由于MN为AND的一条中线，所以又已知 所以 （等量减等量其差相等）由于ABN与DCN的底边在一条直线BC上，且BN=CN，点A，D在BC同侧，由定理2可得，AD/BC. 例7为五边形内一点，厘米,厘米.又/，/.联结 求三角形的面积. 解：由得 面积为6.联结，则 所以答: 6平方厘米.例8. 为三角形ABC内一点,过P作,求证: 三角形与三角形的面积相等. （考虑3种不同的证法）提示: 连接A1C2, C1B2, B1A2.面积=面积=面积 同理可得面积=面积=面积；面积=面积=面积；相加得三角形与三角形的面积相等. 例9.如图，四边形中,对角线相交于.如果四边形的面积等于2009平方厘米，求的面积. 提示：连接，利用等积变形定理得的面积为2009平方厘米.例10.在五边形中, 如果 求证:分析：要证 只需面积=面积. 但，有 面积=面积但有面积=面积，又 有面积=面积；注意到 所以面积=面积.因此，面积=面积，所以例11. 已知ABCDEFG是凸七边形. 证明: 如果和,那么 分析:要证只需证面积=的面积. 因为有面积=的面积; 由有的面积=的面积; 由,有的面积=的面积; 由有的面积=的面积; 由,有的面积=的面积 由,有的面积=的面积,因此，面积=的面积.故得证ABCDEFGH例12. 如图所示，正方形ABCD的面积为36 cm2，正方形EFGH的面积为256 cm2，三角形ACG的面积为27 cm2，则四边形CDHG的面积为 cm2. （第17届华杯赛初赛网络版试题）答：77解：由条件知，正方形ABCD的边长为6cm.ABCDEFGH 正方形EFGH的边长为16 cm. 连接EG，则所以AC/EG. 因此ACGE是梯形，所以.即27=，所以EC= 9，因此CH=7，因为四边形CDHG是个梯形，所以四边形CDHG的面积 =（cm2）.定理2. 凸四边形ABCD的对角线AC, BD相交于O. 则 证明: 由共边定理,得 , 所以 相加得 所以 即特别地, 由可以得出结论AO=CO.为用面积方法证明线段相等提供了新思路.例13. 右图中, 正方形ABCD的面积为840平方厘米，AE=EB，BF=2FC，DF与EC相交于G. 则四边形AEGD的面积为 平方厘米. （第17届华杯赛决赛小高网络版试题6）答: 510解. 连结DE, EF, 则DEC的面积=420. EBC的面积=210 .EFC的面积=EBC的面积210=70.所以，所以DGC的面积=所以 四边形AEGD的面积=四边形AECD的面积DGC的面积ABCDEP例14如图所示，直角三角形ACB的两条直角边 AC和BC的长分别为14 cm和28 cm，CA和 CB分别绕点A和B点旋转至DA和EB. 若DB和AE相交于点P，求三角形PAB的 面积. （第17届华杯赛决赛初一网络版试题12）答：56.解：易知，所以，DCE是一条直线. 延长DA，EB相交于H. 则 ， 因此 而 所以 例15在ABC的边AB，BC和CA上分别取点R，P，Q，使得线段AP，BQ和CR相交于一点M.证明：如果那么M是ABC三条中线的交点.证明：已知条件中给出的面积，我们通过右图中所示的S1，S2和S3来表示.因为ARM和BRM高相同，所以 类似可得也就是，由此推出 因为 所以S1=S2，即AR=RB，也就是CR是ABC的一条中线.同理类似可证AP和BQ也是ABC的中线.因此M是ABC三条中线的交点.例16. 如图，梯形中，过对角线的交点引梯形两底的平行线分别交腰、于点M和. 求证：OM=ON. 解：如图，连接MB， 有 在四边形MDNB中， 因为，所以ON = OM. （思考：进一步可证）例17.在凸四边形中，延长边到，使；延长到，使；延长到，使；延长到，使请你证明：四边形的面积是四边形面积的5倍.证明： 由下左图，连接设则 所以 同理由上右图，连接 设则 所以 + 得 +所以 +例18 如图，在直角的两直角边AC、BC上分别作正方形ACDE 和 CBFG. 连结AF、BE分别交 BC、AC于Q，P. 求证：CP = CQ. 证明：注意AG = AC + CG = D C + CB = BD 因为 所以 即 BDCP =AGCQ . 由于AG = BD，所以CP = CQ. 例19. 如右图所示, 四边形的面积为6, 点M, N, P, Q分别为各边的中点. 点O为内的一点. 连接并延长至E点, 使得, 同样的方式可得点F, G, H. 则四边形的面积为 . 答: 27.解. 连接, 因为点分别为四边形各边的中点, 所以四边形的面积为四边形面积的一半, 即四边形的面积为3.因为且, 容易得到三角形的面积是三角的面积的9倍.同理可得三角形的面积是三角形的面积的9倍；三角形的面积是三角形的面积的9倍；三角形的面积是三角形的面积的9倍.所以四边形的面积是四边形的面积9倍, 即四边形的面积为27. 例20如图, 在五边形ABCDE中, M，N 分别是AB，AE的中点. 四边形AMPN，CPM， CPD，DPN的面积分别是9，6，9，6.求五边形ABCDE的面积. 解：易知连接MN，设 则推得所以连接AC