高中数学 第二章 随机变量及其分布阶段复习课课件 新人教A版选修23.ppt

阶段复习课第二章 核心解读 1 条件概率的性质 1 非负性 0 p b a 1 2 可加性 如果是两个互斥事件 则p b c a p b a p c a 3 推广 更一般地 对任意的一列两两都互斥的事件ai i 1 2 有 2 相互独立事件的性质 1 推广 一般地 如果事件a1 a2 an相互独立 那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 即p a1a2 an p a1 p a2 p an 2 对于事件a与b及它们的和事件与积事件有下面的关系 p a b p a p b p a b 3 二项分布满足的条件 1 每次试验中 事件发生的概率是相同的 2 各次试验中的事件是相互独立的 3 每次试验只有两种结果 事件要么发生 要么不发生 4 随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数 4 均值与方差的性质 1 若 a b a b是常数 是随机变量 则 也是随机变量 e e a b ae b 2 d a b a2d 3 d e 2 e 2 5 正态变量在三个特殊区间内取值的概率 1 p x 0 6826 2 p 2 x 2 0 9544 3 p 3 x 3 0 9974 主题一条件概率的求法 典例1 口袋中有2个白球和4个红球 现从中随机地不放回连续抽取两次 每次抽取1个 则 1 第一次取出的是红球的概率是多少 2 第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少 3 在第一次取出红球的条件下 第二次取出的是红球的概率是多少 自主解答 记事件a 第一次取出的是红球 事件b 第二次取出的是红球 1 从中随机地不放回连续抽取两次 每次抽取1个 所有基本事件共6 5个 第一次取出的是红球 第二次是其余5个球中的任一个 符合条件的有4 5个 所以p a 2 从中随机地不放回连续抽取两次 每次抽取1个 所有基本事件共6 5个 第一次和第二次都取出的是红球 相当于取两个球 都是红球 符合条件的有4 3个 所以p ab 3 利用条件概率的计算公式 可得p b a 方法技巧 条件概率的两个求解策略 1 定义法 计算p a p b p ab 利用p a b 或p b a 求解 2 缩小样本空间法 利用p b a 求解 其中 2 常用于古典概型的概率计算问题 补偿训练 已知男人中有5 患色盲 女人中有0 25 患色盲 从100个男人和100个女人中任选一人 1 求此人患色盲的概率 2 如果此人是色盲 求此人是男人的概率 以上各问结果写成最简分式形式 解析 设 任选一人是男人 为事件a 任选一人是女人 为事件b 任选一人是色盲 为事件c 1 此人患色盲的概率p p ac p bc p a p c a p b p c b 2 由 1 得p ac 又因为p c 所以p a c 主题二相互独立事件同时发生的概率 典例2 一个暗箱里放着6个黑球 4个白球 1 依次取出3个球 不放回 若第1次取出的是白球 求第3次取到黑球的概率 2 有放回地依次取出3个球 若第1次取出的是白球 求第3次取到黑球的概率 3 有放回地依次取出3个球 求取到白球个数 的分布列和期望 自主解答 设事件a为 第1次取出的是白球 第3次取到黑球 b为 第2次取到白球 c为 第3次取到白球 1 p a 2 因为每次取出之前暗箱的情况没有变化 所以每次取球互不影响 所以 3 设事件d为 取一次球 取到白球 则 这3次取出球互不影响 则 b 所以p k k 0 1 2 3 e 方法技巧 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题 1 p ab p a p b 是判断事件是否相互独立的充要条件 也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具 2 涉及 至多 至少 恰有 等字眼的概率问题 务必分清事件间的相互关系 3 公式 p a b 1 p 常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率 提醒 有放回地依次取出3个球 相当于独立重复事件 即 b 则可根据独立重复事件的定义求解 补偿训练 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛 每场均决出胜负 设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的 并且获胜的概率均为 1 求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率 2 求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率 3 求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望 解析 1 这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为 2 6场比赛中恰好获胜3场的情况有 故概率为 3 由于x服从二项分布 即x b所以e x 6 2 主题三离散型随机变量的期望与方差 典例3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子 骰子质地均匀 且各面分别刻有1 2 2 3 3 3六个数字 1 设随机变量 表示一次掷得的点数和 求 的分布列 2 若连续投掷10次 设随机变量 表示一次掷得的点数和大于5的次数 求e d 自主解答 1 由已知 随机变量 的取值为 2 3 4 5 6 设掷一次正方体骰子所得点数为 0 则 0的分布列为 p 0 1 p 0 2 p 0 3 所以 的分布列为 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 2 由已知 满足条件的一次投掷的点数和取值为6 设其发生的概率为p 由 1 知 p 因为随机变量 b所以e 方法技巧 求离散型随机变量的期望与方差的步骤 补偿训练 甲 乙 丙3人投篮 投进的概率分别是 1 现3人各投篮1次 求3人都没有投进的概率 2 用 表示乙投篮10次的进球数 求随机变量 的概率分布及数学期望e 和方差d 3 若 4 1 求e 和d 解析 1 记 甲投篮1次投进 为事件a1 乙投篮1次投进 为事件a2 丙投篮1次投进 为事件a3 3人都没有投进 为事件a 则所以 1 p a1 1 p a2 1 p a3 所以3人都没有投进的概率为 2 随机变量 的可能值有0 1 2 3 10 e np 10 4 方差d np 1 p 3 若 4 1 由 2 得 e e 4 1 4e 1 4 4 1 17 d d 4 1 42d 主题四正态分布的概率 典例4 设x n 10 1 1 证明 p 1 x 2 p 18 x 19 2 设p x 2 a 求p 10 x 18 自主解答 1 因为x n 10 1 所以 正态曲线 x 关于直线x 10对称 而区间 1 2 和 18 19 关于直线x 10对称 所以即p 1 x 2 p 18 x 19 2 因为p x 2 p 2 x 10 p 10 x 18 p x 18 1 p x 2 p x 18 a p 2 x 10 p 10 x 18 所以 2a 2p 10 x 18 1 即p 10 x 18 延伸探究 在题设条件不变的情况下 求p 8 x 12 解析 由x n 10 1 可知 10 2 1 又p 8 x 12 p 10 2 x 10 2 0 9544 方法技巧 正态分布的概率求法 1 注意 3 原则 记住正态总体在三个区间内取值的概率 2 注意数形结合 由于正态分布密度曲线具有完美的对称性 体现了数形结合的重要思想 因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题 补偿训练 某年级的一次信息技术成绩近似服从于正态分布n 70 100 如果规定低于60分为不及格 不低于90分为优秀 那么成绩不及格的学生约占多少 成绩优秀的学生约占多少 参考数据 p 0 6826 p 2 2 0 9544 解题指南 先由题意得 70 10 再利用正态分布的意义和3 原则 p 0 6826 p 2 2 0 9544 计算即可 解析 因为由题意得 70 10 p 0 6826 p 2 2 0 9544 1 0 1587 2 0 0228 故成绩不及格的学生约占15 87 成绩优秀的学生约占2 28 强化训练 1 2014 秦皇岛高二检测 将三颗骰子各掷一次 设事件a 三个点数都不相同 b 至少出现一个6点 则概率p a b 解析 选a 因为p a b p ab p b p ab p b 1 p 所以p a b p ab p b 2 2014 合肥高二检测 某单位在一次春游踏青中 开展有奖答题活动 从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题 在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为 解题指南 由已知中从2道文史题和3道理科题中不放回依次抽取2道题 在第一次抽到理科题的前提下 我们可以计算出现在抽到的题目总的基本事件个数 及满足第二次抽到理科题的基本事件个数 代入古典概型概率计算公式 即可得到答案 解析 选d 由于共有2道文史题和3道理科题 在第一次抽到理科题的前提下 第二次抽取时 还剩下2道文史题和2道理科题 其中抽到理科题共有2种可能 故在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率p 故选d 3 2014 淄博高二检测 设随机变量 服从正态分布n 0 1 p 1 p 则p 1 1 解题指南 随机变量 服从标准正态分布n 0 1 知正态曲线关于x 0对称 根据p 1 p 得到p 1 0 p 再根据对称性写出要求概率 解析 选a 因为随机变量 服从标准正态分布n 0 1 所以正态曲线关于x 0对称 因为p 1 p 所以p 1 0 p 所以p 1 1 2 p 1 2p 故选a 4 已知某随机变量 的概率分布列如表 其中x 0 y 0 随机变量 的方差d 则x y 解析 由题意可得 2x y 1 e x 2y 3x 4x 2y 4x 2 1 2x 2 所以方差d 1 2 2x 2 2 2 1 2x 3 2 2x 化为2x 解得x 所以y 1 2 所以x y 答案 5 2014 江苏高考 盒中共有9个球 其中4个红球 3个黄球和2个绿球 这些球除颜色外完全相同 1 从盒中一次随机抽出2个球 求取出的2个球颜色相同的概率p 2 从盒中一次随机抽出4个球 其中红球 黄球 绿球的个数分别为x1 x2 x3 随机变量x表示x1 x2 x3的最大数 求x的概率分布和数学期望e x 解析 1 一次取2个球共有 36种可能情况 2个球颜色相同共有 10种可能情况 所以取出2个球颜色相同的概率 2 x的所有可能取值为4 3 2 则于是p x 2 1 p x 3 p x 4 所以x的概率分布列为故x的数学期望e x 6 2014 郑州高二检测 每年的三月十二日是中国的植树节 林管部门在植树前 为保证树苗的质量 都会在植树前对树苗进行检测 现从甲 乙两批树苗中各抽测了10株树苗的高度 规定高于128cm的为 良种树苗 测得高度如下 单位 cm 甲 137 121 131 120 129 119 132 123 125 133乙 110 130 147 127 146 114 126 110 144 146 1 根据抽测结果 作出茎叶图 并根据你的茎叶图 对甲 乙两批树苗的高度作比较 写出对两种树苗高度的统计结论 2 设抽测的10株甲种树苗高度平均值为 将这10株树苗的高度依次输入 按程序框图进行运算 如图 问输出的s大小为多少 并说明s的统计学意义 3 若小王在甲批树苗中随机领取了5株进行种植 用样本的频率分布估计总体分布 求小王领取到的 良种树苗 株数x的