高中数学 2.3.1 离散型随机变量的均值课件 新人教A版选修23 .ppt

2 3离散型随机变量的均值与方差2 3 1离散型随机变量的均值 1 离散型随机变量的均值及其性质 1 离散型随机变量的均值或数学期望 一般地 若离散型随机变量x的分布列为 均值或数学期望e x 数学期望的含义 反映了离散型随机变量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 平均水平 2 均值的性质 若y ax b 其中a b为常数 x是随机变量 y也是随机变量 e ax b 2 两点分布 二项分布的均值 1 两点分布 若x服从两点分布 则e x 2 二项分布 若x b n p 则e x ae x b p np 1 判一判 正确的打 错误的打 1 随机变量x的数学期望e x 是个变量 其随x的变化而变化 2 随机变量的均值与样本的平均值相同 3 若随机变量 的数学期望e 3 则e 4 5 7 解析 1 错误 随机变量的均值是常数 其不随x的变化而变化 2 错误 随机变量的均值是常数 而样本的平均值 随样本的不同而变化 3 正确 e 3 则e 4 5 4e 5 12 5 7 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 若随机变量 的分布列为则 的数学期望e 2 设随机变量x b 16 p 且e x 4 则p 3 2014 上海高二检测 设口袋中有黑球 白球共7个 从中任取2个球 已知取到白球个数的数学期望为 则口袋中白球的个数为 解析 1 由题意可知m 0 5 故 的数学期望e 0 0 2 1 0 3 2 0 5 1 3 答案 1 3 2 若随机变量x b 16 p 且e x 4 则16p 4 所以p 答案 3 设口袋中有白球n个 由题意知口袋中有黑球 白球共7个 从中任取2个球 取到白球的概率是 因为每一次取到白球的概率是一个定值 且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果 所以符合二项分布 所以2 所以n 3 答案 3 要点探究 知识点离散型随机变量的均值及其性质1 对均值概念的四点说明 1 均值的含义 均值是离散型随机变量的一个重要特征数 反映或刻画的是离散型随机变量取值的平均水平 2 均值的来源 均值不是通过一次或几次试验就可以得到的 而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值 3 均值与平均数的区别 均值是概率意义下的平均值 不同于相应数值的算术平均数 4 均值的单位 随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位 2 对公式e ax b ae x b的四点说明 1 当a 0时 e b b 即常数的均值就是这个常数本身 2 当a 1时 e x b e x b 即随机变量x与常数之和的均值等于x的均值与这个常数的和 3 当b 0时 e ax ae x 即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积 4 e x1 x2 e x1 e x2 即两个随机变量和的均值等于均值的和 3 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系 微思考 根据离散型随机变量均值的定义思考 对于一般的离散型随机变量 若要求出它的均值 需要确定的量有哪些 提示 需要确定两个量 一是离散型随机变量的所有取值 另一个是每一个离散型随机变量取值所对应的概率 即时练 一射手对靶射击 直到第一次命中为止 每次命中的概率为0 6 现有4颗子弹 命中后的剩余子弹数目 的期望为 a 2 44b 3 376c 2 376d 2 4 解析 选c 由题意知 0 1 2 3 因为当 0时 表示前三次都没射中 第四次还要射击 但结果不计 所以p 0 0 43 因为当 1时 表示前两次都没射中 第三次射中 所以p 1 0 6 0 42 因为当 2时 表示第一次没射中 第二次射中 所以p 2 0 6 0 4 因为当 3时 表示第一次射中 所以p 3 0 6 所以e 0 0 43 1 0 6 0 42 2 0 6 0 4 3 0 6 2 376 题型示范 类型一求离散型随机变量的均值 典例1 1 已知随机变量x的分布列如下表 则e 2x 5 a 1 32b 2 64c 6 32d 7 64 2 2014 浙江高考 已知甲盒中仅有1个球且为红球 乙盒中有m个红球和n个蓝球 m 3 n 3 从乙盒中随机抽取i i 1 2 个球放入甲盒中 a 放入i个球后 甲盒中含有红球的个数记为 i i 1 2 b 放入i个球后 从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi i 1 2 则 a p1 p2 e 1 e 2 c p1 p2 e 1 e 2 d p1 p2 e 1 e 2 解题探究 1 题 1 中已知随机变量x的分布列 如何计算e x 由性质如何计算e 2x 5 2 题 2 中p1 p2分别等于什么 探究提示 1 直接利用期望公式即可计算e x 对于e 2x 5 的值 可以根据e 2x 5 2e x 5计算 自主解答 1 选d 由题意 e x 2 0 16 1 0 44 3 0 40 1 32 所以e 2x 5 2e x 5 2 64 5 7 64 故选d 2 选a 故p1 p2 比较可知e 1 e 2 故选a 方法技巧 求离散型随机变量的均值的步骤 1 确定取值 根据随机变量x的意义 写出x可能取得的全部值 2 求概率 求x取每个值的概率 3 写分布列 写出x的分布列 4 求均值 由均值的定义求出e x 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在 变式训练 2013 陕西高考 在一场娱乐晚会上 有5位民间歌手 1至5号 登台演唱 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手 其中观众甲是1号歌手的歌迷 他必选1号 不选2号 另在3至5号中随机选2名 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱 因此在1至5号中随机选3名歌手 1 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率 2 x表示3号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 求x的分布列和数学期望 解题指南 1 利用相互独立事件的概率乘法公式即可得解 2 先确定随机变量x的取值 再求随机变量x的分布列 最后求出随机变量x的数学期望 解析 1 设事件a表示 观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手 观众甲选中3号歌手的概率为 观众乙未选中3号歌手的概率为1 所以p a 因此 观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 2 x表示3号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 则x可取0 1 2 3 观众甲选中3号歌手的概率为 观众乙 丙选中3号歌手的概率为 当观众甲 乙 丙均未选中3号歌手时 这时x 0 p x 0 当观众甲 乙 丙中只有1人选中3号歌手时 这时x 1 当观众甲 乙 丙中只有2人选中3号歌手时 这时当观众甲 乙 丙均选中3号歌手时 这时x 3 x的分布列如下表 所以数学期望e x 补偿训练 2014 徐州高二检测 袋中有4只红球 3只黑球 今从袋中随机取出4只球 设取到一只红球得2分 取到一只黑球得1分 试求得分 的概率分布和数学期望 解题指南 由题意知直接考虑得分的话 情况较复杂 可以考虑取出的4只球颜色的分布情况 4红得 8分 3红1黑得 7分 2红2黑得 6分 1红3黑得 5分 根据球的颜色列出概率 把概率和得分对应起来 得到结论 解析 由题意知直接考虑得分的话 情况较复杂 可以考虑取出的4只球颜色的分布情况 因为4红得 8分 3红1黑得 7分 2红2黑得 6分 1红3黑得 5分 所以p 5 所以e 类型二两点分布及二项分布的均值 典例2 1 已知某离散型随机变量x服从的分布列如图 则随机变量x的数学期望e x 等于 2 2013 辽宁高考 现有10道题 其中6道甲类题 4道乙类题 张同学从中任取3道题解答 求张同学至少取到1道乙类题的概率 已知所取到的3道题中有2道甲类题 1道乙类题 设张同学答对每道甲类题的概率都是 答对每道乙类题的概率都是 且各题答对与否相互独立 用x表示张同学答对题的个数 求x的分布列和数学期望 解题探究 1 题 1 中如何求出m的取值 2 对于 至少有一个 等问题 应如何求解 求x的数学期望应注意什么 探究提示 1 根据分布列的性质知m 2m 1 据此可求出m的值 2 诸如 至少有一个 等问题 可以结合对立事件的概率来求解 对于随机变量x的研究 需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时对应的事件及其概率 列出其分布列 正确应用均值公式进行计算 自主解答 1 选d 由题意可得 m 2m 1 所以m 所以e x 0 1 故选d 2 记事件a 张同学所取的3道题至少取到1道乙类题 则 张同学所取的3道题全为甲类题 事件 张同学所取的3道题全为甲类题 共有 20种取法 而 从10道题中任取3道题 共有 120种取法 所以 故p a 所以张同学至少取到1道乙类题的概率为 张同学答对题的个数x的可能值为0 1 2 3 x 0表示张同学答对0道题 p x 0 x 1表示张同学答对1道题 包含以下两种可能 答对1道甲类题 答对1道乙类题 因此p x 1 x 2表示张同学答对2道题 包含以下两种可能 答对2道甲类题 答对1道甲类题和1道乙类题 因此x 3表示张同学所取的3道题全部答对 因此 所以x的分布列为故x的数学期望为 方法技巧 两点分布与二项分布的关系 1 相同点 一次试验中要么发生要么不发生 2 不同点 随机变量的取值不同 两点分布随机变量的取值为0 1 二项分布中随机变量的取值x 0 1 2 n 试验次数不同 两点分布一般只有一次试验 二项分布则进行n次试验 变式训练 2013 山东高考 甲 乙两支排球队进行比赛 约定先胜3局者获得比赛的胜利 比赛随即结束 除第五局甲队获胜的概率是外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设每局比赛结果互相独立 1 分别求甲队以3 0 3 1 3 2胜利的概率 2 若比赛结果为3 0或3 1 则胜利方得3分 对方得0分 若比赛结果为3 2 则胜利方得2分 对方得1分 求乙队得分x的分布列及数学期望 解题指南 1 本题考查了相互独立事件的概率 2 本题考查的是随机变量的分布列及数学期望 先列出x的所有值 并求出每个x值所对应的概率 列出分布列 然后根据公式求出数学期望 解析 1 记 甲队以3 0胜利 为事件a1 甲队以3 1胜利 为事件a2 甲队以3 2胜利 为事件a3 由题意 各局比赛结果相互独立 故p a1 所以甲队以3 0胜利 以3 1胜利的概率都为 甲队以3 2胜利的概率为 2 设 乙队以3 2胜利 为事件a4 由题意 各局比赛结果相互独立 所以由题意 随机变量 的所有可能的取值为0 1 2 3 根据事件的互斥性得 故 的分布列为所以e 补偿训练 抛掷两个骰子 至少有一个4点或5点出现时 就说这次试验成功 则在10次试验中 成功次数 的期望是 解题指南 由题意知试验中的事件是相互独立的 事件发生的概率是相同的 得到成功次数 服从二项分布 根据二项分布的期望公式得到结果 解析 选d 因为成功次数 服从二项分布 每次试验成功的概率为所以在10次试验中 成功次数 的期望为 故选d 类型三均值的应用 典例3 1 利用下列盈利表中的数据进行决策 应选择的方案是 a a1b a2c a3d a4 2 2013 四川高考 某算法的程序框图如图所示 其中输入的变量x在1 2 3 24这24个整数中等可能随机产生 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi i 1 2 3 甲 乙两同学依据自己对程序框图的理解 各自编写程序重复运行n次后 统计记录了输出y的值为i i 1 2 3 的频数 以下是甲 乙所作频数统计表的部分数据 甲的频数统计表 部分 乙的频数统计表 部分 当n 2100时 根据表中的数据 分别写出甲 乙所编程序各自输出y的值为i i 1 2 3 的频率 用分数表示 并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大 解题探究 1 题 1 中选择的方案应具备什么特性 2 题 2 中输出的y值有几种可能 探究提示 1 被选择方案的特性是对应的均值较大 2 根据程序框图知输出的y值有3种可能 分别为1 2 3 自主解答 1 选c a1的均值为50 0 25 65 0 30 26 0 45 43 7 a2的均值为70 0 25 26 0 30 16 0 45 32 5 a3的均值为 20 0 25 52 0 30 78 0 45 45 7 a4的均值为98 0 25 82 0 30 10 0 45 44 6 所以选方案a3 2 变量x是在1 2 3 24这24个整数中随机产生的一个数 共有24种可能 当x从1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23这12个数中产生时 输出y的值为1 故p1 当x从2 4 8 10 14 16 20 22这8个数中产生时 输出y的值为2 故p2 当x从6 12 18 24这4个数中产生时 输出y的值为3 故p3 所以 输出y的值为1的概率p1 输出y的值为2的概率p2 输出y的值为3的概率p3 当n 2100时 甲 乙所编程序各自输出y的值为i i 1 2 3 的频率如下 比较频率趋势与概率 可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 方法技巧 解答概率模型的三个步骤 1 审题 确定实际问题是哪一种概率模型 可能用到的事件类型 所用的公式有哪些 2 确定随机变量的分布列 计算随机变量的均值 3 对照实际意义 回答概率 均值等所表示的结论 变式训练 2013 福建高考 某联欢晚会举行抽奖活动 举办方设置了甲 乙两种抽奖方案 方案甲的中奖率为 中奖可以获得2分 方案乙的中奖率为 中奖可以获得3分 未中奖则不得分 每人有且只有一次抽奖机会 每次抽奖中奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们的累计得分为x 求x 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的数学期望较大 解析 1 由已知得 小明中奖的概率为 小红中奖的概率为 且两人中奖与否互不影响 记 这2人的累计得分x 3 的事件为a 则a事件的对立事件为 x 5 因为p x 5 所以p a 1 p x 5 所以这两人的累计得分x 3的概率为 2 设小明 小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为x1 都选择方案乙抽奖中奖的次数为x2 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为e 2x1 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为e 3x2 由已知 x1 b x2 b 所以e x1 所以e 2x1 2e x1 e 3x2 3e x2 因为e 2x1 e 3x2 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 累计得分的数学期望最大 补偿训练 2013 海淀高二检测 某公司准备将100万元资金投入代理销售业务 现有a b两个项目可供选择 投资a项目一年后获得的利润x1 万元 的分布列如下表所示 且x1的均值e x1 12 投资b项目一年后获得的利润x2 万元 与b项目产品价格的调整有关 b项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整 两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p 0 p 1 和1 p 经专家测算评估 b项目产品价格一年内调整次数x 次 与x2的关系如下表所示 1 求a b的值 2 求x2的分布列 3 若e x1 e x2 则选择投资b项目 求此时p的取值范围 解析 1 由题意得 解得 a 0 5 b 0 1 2 x2的可能取值为4 12 11 76 20 40 p x2 4 12 1 p 1 1 p p 1 p p x