高一数学必修1知识点总结

高中数学必修高中数学必修 1 1 知识点知识点 第 1 章 集合综合应用题 单调性 奇偶性证明与应用 第 2 章 指数幂与对数的运算 指数函数与对数函数性质的应用 第 3 章 零点问题 尤其是二次函数的零点 二次函数根的分布 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一 集合有关概念 一 集合有关概念 1 1 集合的含义 集合的含义 2 2 集合的中元素的三个特性 集合的中元素的三个特性 1 元素的确定性 2 元素的互异性 3 元素的无序性 3 3 集合的表示 集合的表示 列举法 描述法 4 4 常用数集及其记法 常用数集及其记法 非负整数集 即自然数集 非负整数集 即自然数集 N N 正整数集正整数集 N N 或或 N N 整数集整数集 Z Z 有理数集 有理数集 Q Q 实数集实数集 R R 5 5 属于属于 的概念的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示 如 a 是集合 A 的元素 就说 a 属于集合 A 记作 a A 相反 a 不属于集合 A 记作 aA 6 6 集合的分类 集合的分类 1 1 有限集 有限集 含有有限个元素的集合 2 2 无限集 无限集 含有无限个元素的集合 3 3 空集 空集 不含任何元素的集合 二 集合间的基本关系二 集合间的基本关系 集合相等 子集 真子集 空集等定义集合相等 子集 真子集 空集等定义 规定规定 空集是任何集合的子集 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 空集是任何非空集合的真子集 三 集合的运算三 集合的运算 1 交集 并集 全集与补集的定义交集 并集 全集与补集的定义 2 性质 A A A A A B B A A A A A A A B B A CU C UA A C UA A C UA A U 4 C UA C UB C U A B 5 C UA C UB C U A B 二 函数的有关概念二 函数的有关概念 1 1 函数的概念 函数的概念 看课本看课本 注意 1 如果只给出解析式 y f x 而没有指明它的定义域 则函数的定义域即是指能使这个式子有意 义的实数的集合 2 函数的定义域 值域要写成集合或区间集合或区间的形式 定义域补充 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组的主要依据主要依据是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 对数式的真数必须大于零 4 指数 对 数式的底必须大于零且不等于 1 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么 它的 定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 6 指数为零底不可以等于零 7 实际问题中的函数 的定义域还要保证实际问题有意义 注意 求出不等式组的解集即为函数的定义域 2 2 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 相同函数的判断方法 定义域一致 表达式相同 两点必须同时具备 函数图像函数图像 A A 描点法 描点法 根据函数解析式和定义域 求出 x y 的一些对应值并列表 以 x y 为坐标在坐标系内描出 相应的点 P x y 最后用平滑的曲线将这些点连接起来 B B 图象变换法 图象变换法 常用变换方法有三种 即平移变换 对称变换和伸缩变换 对称变换 对称变换 1 将 y f x 在 x 轴下方的图象向上翻得到 y f x 的图象如 书上 P21 例 5 2 y f x 和 y f x 的图象关于 y 轴对称 如 1 x xx yaya a 与 3 y f x 和 y f x 的图象关于 x 轴对称 如 1 logloglog aa a yxyxx 与 平移变换 平移变换 由 f x 得到 f xa 左加右减 由 f x 得到 f x a 上加下减 3 3 作用 作用 A 直观的看出函数的性质 B 利用数形结合的方法分析解题的思路 C 提高解题的速度 发现解题中的错误 4 4 区间的概念与表示 区间的概念与表示 5 5 映射 映射 定义定义 看课本 说明说明 函数是一种特殊的映射 映射是一种特殊的对应 集合 A B 及对应法则 f 是确定的 对应法 则有 方向性 即强调从集合 A 到集合 B 的对应 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的 对于映射 f A B 来说 则应满足 集合 A 中的每一个元素 在集合 B 中都有象 并且象是唯 一的 集合 A 中不同的元素 在集合 B 中对应的象可以是同一个 不要求集合 B 中的每一 个元素在集合 A 中都有原象 6 6 函数的表示法 函数的表示法 解析法 图象法 列表法 注意 解析法 便于算出函数值 列表法 便于查出函数值 图象法 便于量出函数值 分段函数是一个函数 不要把它误认为是几个函数 2 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域的并集 如果 y f u u M u g x x A 则 y f g x F x x A 称为 f 是 g 的复合函数 7 7 函数单调性 定义 函数单调性 定义 1 1 增函数 增函数 注意 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 2 必须是对于区间 D 内的任意任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 总有 f x1 f x2 或 f x1 f x2 2 2 图象的特点图象的特点 如果函数 y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么说函数 y f x 在这一区 间上具有 严格的 单调性 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函数的图象从左到右是下降的减函数的图象从左到右是下降的 3 3 函数单调区间与单调性的判定方法函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 1 任取 x1 x2 D 且 x1 0 C 为常数 时 与的单调性相同 yf x yC f x A 当 C 0 C 为常数 时 与的单调性相反 yf x yC f x A 函数 都是增 减 函数 则仍是增 减 函数 f x g x f xg x 若且与都是增 减 函数 则也是增 减 函数 0 0f xg x f x g x f x g xA 若且与都是增 减 函数 则也是减 增 函数 0 0f xg x f x g x f x g xA 8 8 函数的奇偶性 定义 函数的奇偶性 定义 偶函数的图象关于偶函数的图象关于 y y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称轴对称 奇函数的图象关于原点对称 总结 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 1 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点 对称 2 确定 f x 与 f x 的关系 3 作出相应结论 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 注意 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 首先看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称则函数是非奇非偶函数 若对称 1 再根据定义判定 2 有时判定 f x f x 比较困难 可 考虑根据是否有 f x f x 0 或 f x f x 1 来判定 3 利用定理 或借助函数的图象判定 函数奇偶性的性质函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性 则其单调性恰恰相反 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于偶函数的图象关于轴对称轴对称 y 若若为偶函数 则为偶函数 则 f x fxf xfx 若奇函数若奇函数定义域中含有定义域中含有 0 0 则必有 则必有 f x 0 0f 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成定义在关于原点对称区间上的任意一个函数 都可表示成 一个奇函数一个奇函数与一个偶函数与一个偶函数的和的和 F x G x 或差 或差 如设如设是定义域为是定义域为 R R 的任一函数 的任一函数 则则 xf 2 f xfx F x 2 f xfx G x 复合函数的奇偶性特点是 复合函数的奇偶性特点是 内偶则偶 内奇同外内偶则偶 内奇同外 既奇又偶函数有无穷多个 既奇又偶函数有无穷多个 定义域是关于原点对称的任意一个数集 定义域是关于原点对称的任意一个数集 0f x 9 9 函数的解析表达式 函数的解析表达式 1 函数的解析式是函数的一种表示方法 要求两个变量之间的函数关系时 一是要求出它们之间的对 应法则 二是要求出函数的定义域 2 求函数的解析式的主要方法有 待定系数法 换元法 消参法等 A 如果已知函数解析式的构造 时 可用待定系数法 B 已知复合函数 f g x 的表达式时 可用换元法 这时要注意元的取值范围 当已知表达式较简单时 也可用凑配法 C 若已知抽象函数表达式 则常用解方程组消参的方法求出 f x 1010 函数最大 小 值 定义见课本 函数最大 小 值 定义见课本 p30p30 页 页 1 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 2 利用图象求函数的最大 小 值 3 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减则函数 y f x 在 x b 处有最大值 f b 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递减 在 区间 b c 上单调递增则函数 y f x 在 x b 处有最小值 f b 第二章第二章 基本初等函数基本初等函数 一 指数函数一 指数函数 一 指数与指数幂的运算 这部分初中接触过 要注意分数指数幂的运算 一 指数与指数幂的运算 这部分初中接触过 要注意分数指数幂的运算 二 指数函数及其性质 二 指数函数及其性质 0 a1 图 像 定义域 R 值域 0 1 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 2 在 R 上是减函数 2 在 R 上是增函数 性质 3 3 当 当 x 0 x 0 时时 0 y 1 0 y 1 当当 x 0 x1 y 1 3 3 当 当 x 0 x 0 时时 y 1 y 1 当当 x 0 x 0 时时 0 y 1 0 y 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0 有 有 1 2 NM N M aaa logloglog 3 loglogn n aa MnM R 注意 换底公式 loglg log0 1 0 1 0 loglg c a c bb baaccb aa a b b a log 1 log loglogloglog abca bcdd loglog m n a a n bb m 二 对数函数 概念 二 对数函数 概念 对数函数的图像与性质 对数函数 a 0 且 a 1 logayx logM Nloglog aaa MN 0 a 1a 1 图 像 y y y x x x 0 0 0 1 0 1 0 1 0 y y y x x x 0 0 0 1 0 1 0 1 0 定义域 0 值域 R 过点 1 0 即当 x 1 时 y 0 在 0 上是减函数在 0 上是增函数性 质 当 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 当 0 x0 当 x 1 时 y 0 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y0 b 0 当当 a ba b 不同在不同在 0 1 0 1 内 或不同在内 或不同在 1 1 内时内时 有有 logloga ab 0b0 当 a b 在 1 的异 侧时 logab 0 值域求法用单调性 分辨不同底的对数函数图象利用 1 logaa 用 y 1 去截图象得到对应的底数 y ax a 0 且 a 1 与 y logax a 0 且 a 1 互为反函数 图象关于 y x 对称 三 幂函数 三 幂函数 1 幂函数定义 一般地 形如的函数称为幂函数 其中 x 是自变量 为常数 yx 2 幂函数性质归纳 1 所有的幂函数在 0 都有定义 并且图象都过点 1 1 2 0 时 幂函数的图象通过原点 并且在 0 上是增函 数 特别地 当 1 时 幂函数的图象下凸 当 0 1 时 幂函 数的图象上凸 3 0 时 幂函数的图象在 0 上是减函数 在第一象 限内 当 x 从右边趋向原点时 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正 半轴 当 x 趋于 时 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴 3 3 比较大小 比较大小 1 利用函数单调性 同底数 2 利用中间值 如 0 1 3 变形后比较 4 作差比较 第三章第三章 函数的应用函数的应用 一 方程的根与函数的零点一 方程的根与函数的零点 1 1 函数零点 函数零点的概念 对于函数 y f x 使 f x 0 的实数 x 叫做函数的零点 实质上是函数 y f x 与 x 轴交点的横坐标 2 2 函数零点的意义 函数零点的意义 方程 f x 0 有实数根 函数 y f x 的图象与 x 轴有交点 函数 y f x 有零点 3 3 零点定理 零点定理 函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的 并且有 f a f b 0 那么函数 y f x 在 区间 a b 至少有一个零点 c 使得 f c 0 此时 c 也是方程 f x 0 的根 4 4 函数零点的求法 函数零点的求法 求函数 y f x 的零点 1 代数法 求方程 f x 0 的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数 y f x 的图象联系起来 并利用函数的 性质找出零点 5 5 二次函数的零点 二次函数的零点 二次函数 f x ax2 bx c a 0 1 0 方程 f x 0 有两不等实根 二次函数的图象与 x 轴有两个交点 二次函数有两个零点 2 0 方程 f x 0 有两相等实根 二重根 二次函数的图象与 x 轴有一个交点 二