通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练二十圆锥曲线综合问题2理.docx

教学资料范本通用版2020版高考数学大二轮复习能力升级练二十圆锥曲线综合问题2理编 辑：_时 间：_能力升级练(二十)圆锥曲线综合问题(2)1.(20xx广西市第三中学、市高级中学联考)如图,椭圆C:=1(ab0)的顶点为A1,A2,B1,B2,左右焦点分别为F1,F2,|A1B1|=.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,试探究在x轴上是否存在定点Q,使得为定值?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)由|A1B1|=,得a2+b2=3.由,得2a2b=2c2b,即a=c,又a2-b2=c2,由,得a2=2,b2=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)当直线l的斜率不为0或不存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,0),直线l的方程为x=my+1,由得(m2+2)y2+2my-1=0,=(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=(my1+1)(my2+1)-x0(my1+my2+2)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)(1-x0)+-2x0+1=(m2+1)+m(1-x0)+-2x0+1=-2x0+1,由,得x0=,故此时点Q,0,=-.当直线l的斜率为0时,=-.综上所述,在x轴上存在定点Q,0,使得为定值.2.如图,A(-m,m),B(n,n)两点分别在射线OS,OT上移动,且=-,O为坐标原点,动点P满足.(1)求点P的轨迹C的方程.(2)设Q,过Q作(1)中曲线C的两条切线,切点分别为M,N,求证:直线MN过定点;若=-7,求x0的值.解(1)由已知得=-3mn+mn=-,即mn=.设点P坐标为(x,y)(y0),由,得(x,y)=(-m,m)+(n,n)=(n-m),m+n).消去m,n,可得y2-=1(y0),轨迹C的方程为y2-=1(y0).(2)由(1)知,y=,即y=.设M(x1,y1),N(x2,y2),则kQM=,kQN=.lQM:y=(x-x1)+y1,即lQM:x1x-3y1y+3=0.Q在直线QM上,x0x1-y1+3=0,同理可得x0x2-y2+3=0.由可知,lMN:x0x-y+3=0,直线MN过定点(0,2).由以上可知,设直线MN的方程为y=kx+2,易知k=,且|k|0)的焦点为F,M(-2,y0)是抛物线C上一点,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)过点F的直线与抛物线C相交于A,B两点,分别过A,B两点作抛物线C的切线l1,l2,两条切线相交于点P,点P关于直线AB的对称点Q,判断四边形PAQB是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.解(1)根据题意知,4=2py0,因为|MF|=2,所以y0+=2.联立解得y0=1,p=2.所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)四边形PAQB存在外接圆.设直线AB方程为y=kx+1,代入x2=4y中,得x2-4kx-4=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=16k2+160,且x1+x2=4k,x1x2=-4,所以|AB|=|x1-x2|=4(k2+1),因为C:x2=4y,即y=,所以y=.因此,切线l1的斜率为k1=,切线l2的斜率为k2=,由于k1k2=-1,所以PAPB,即PAB是直角三角形,所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点,线段AB是圆的直径,所以点Q一定在PAB的外接圆上,即四边形PAQB存在外接圆.又因为|AB|=4(k2+1),所以当k=0时,线段AB最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为4.4.已知椭圆G的离心率为,其短轴两端点为A(0,1),B(0,-1).(1)求椭圆G的方程;(2)若C,D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点,直线AC,BD与x轴分别交于点M,N.判断以MN为直径的圆是否过点A,并说明理由.解(1)由已知可设椭圆G的方程为=1(a1).由e=,可得e2=,解得a2=2,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)方法一:设C(x0,y0),且x00,则D(-x0,y0).因为A(0,1),B(0,-1),所以直线AC的方程为y=x+1.令y=0,得xM=,所以M.同理,直线BD的方程为y=x-1,求得N.,所以+1,由C(x0,y0)在椭圆G:+y2=1上,所以=2(1-),所以=-10,所以MAN90,所以以线段MN为直径的圆不过点A.方法二:因为C,D关于y轴对称,且B在y轴上,所以CBA=DBA.因为N在x轴上,又A(0,1),B(0,-1)关于x轴对称,所以NAB=NBA=CBA,所以BCAN,所以NAC=1