江西理工大学线性代数课后习题二

线性代数第二章习题二答案线性代数第二章习题二答案 1 0 1 19 2 1 3 3 3 1 5 232 2 1 3 8 4 12 4 1 3 1 5 3 17 7 3 4 1 2 因为维数不同 不能由它们线性表出 1 1 3212 43212 4321 4434324321 443322112 4321 2 0 1 2 1 0 1 1 2 2 即 的线性组合 可以表示为所以 解得 即 使得 设存在 kkkk kkkkkkkkkk kkkk kkkk 因为维数不同 不能由它们线性表出 3 3 43214 43214 4321 4434324321 443322114 4321 34 2 3 4 2 1 3 1 1 2 4 即 的线性组合 可以表示为所以 解得 即 使得 设存在 kkkk kkkkkkkkkk kkkk kkkk 3 使得证明 设存在 4321 kkkk 44332211 kkkk 只有一种 线性表示并且表示方法 可以由即 且有唯一解 所以上线性方程组有解 因为系数行列式 即 则 4321 44 343 2432 14321 44343243214321 01 1000 2100 3210 4321 2 32 432 2 32 432 D bk bkk bkkk bkkkk kkkkkkkkkkbbbb 4434324321321 44 433 4322 3211 2 2 2 2 2 2 bbbbbbbbb bk bbk bbbk bbbk 即 解得 4 n 000 0 0 0 21 证明 维向量组线性表示 维零向量可由任意的所以 nn 5 证明 因为 表示 都可由这个向量组线性中的任一向量 所以 向量组 1 1 00100 1000 1 001 21 111 121 21 mj mj mj j jm mjjj mm m j 6 0 332211321 kkkkkk使得解 设存在 线性相关 故 使得即存在不全为零的 有非零解 所以上齐次线性方程组 因为系数行列式 线性无关 可得 由 整理得 即 321 332211321 321 321 31 321 33212321131 32133223211 0 0 312 111 201 032 0 02 0 32 2 0 32 2 kkkkkk D kkk kkk kk kkkkkkkk kkk 7 维向量线性相关 个证明 由定理四 任意nn1 0 221121 21 kkkkkkkk nnn n 使得即 存在不全为零的数 线性相关 所以向量组 用反证法 下证0 k 则若 0 k不全为零且 nnn kkkkkk 0 212211 线性无关矛盾 这与 n 21 n n k k k k k k k 2 2 1 1 0 于是 所以 线性表示 可以由即 n 21 8 0 332211321 kkkkkk使得解 设存在 213 321 321 321 321 321 321 7 1 7 11 50 50 5 7 500 170 231 670 170 231 23 312 231 023 032 023 0 3 2 2 1 3 3 2 1 此时 线性相关 解 时上齐次方程组有非零时 即当 线性无关 解 时上齐次方程组只有零时 即当 系数行列式 于是 即 cD cD c ccc D ckkk kkk kkk ckkk 9 关性 维数不同 不存在相 1 08 250 210 111 361 321 111 2 向量组线性无关 0 4120 2 6 0 321 7141 14 1 321 3 向量组线性相关 0 4262 31 20 62 40 43 11 4262 31 20 2131 43 11 4 向量组线性相关 02 110 1 10 101 110 011 101 11010 01100 00110 00011 00101 5 向量组线性无关 10 仍线性相关 线性相关 再加上与不对 如 1 0 2 2 1 1 线性表示 却不能由 2 2 1 1 1 0 11 线性表示 维单位向量组可由 证明 因为 nn n 2121 线性无关 所以的个数为 而 相等 等于 与秩 等价 故秩 与 线性表示 所以 可由 又已知 nn nnn nnn nn 2121 212121 212121 12 不一定 则表示法不唯一 可由其余向量线性表示中有向量 若 in 21 13 因为 31 2 的秩为 向量组 的一个最大线性无关组 是向量组 故 线性无关 线性相关 而 线性相关 继而 所以 又 线性相关 线性相关 线性相关 线性相关 则 与所以 2 2 4321 432121 21 432421241 431321 432131 14 线性无关 线性无关 所以 由于向量组 32432 1 线性表示 可由线性相关 所以 又 321321 线性表示 不可由所以 线性无关矛盾 线性表示 这与向量组 可由 线性表示 则 可由线性表示 又 可由若 线性相关 线性相关 所以 由于 3214 432324 3213214 4321321 2 15 证法一证法一 由于 1332211 2 1 2 1 2 1 1332212 2 1 2 1 2 1 也线性无关 即 秩 所以秩 线性无关可得秩 由 等价 与向量组 故 向量组 线性表示 也可由向量组 又向量组 线性表示 可由向量组 所以 向量组 133221 321133221 321321 321133221 321133221 133221321 1332213 3 3 2 1 2 1 2 1 证