导数的应用 复习课.doc

导数的应用复习目标：1理解可导函数的单调性与其导数的关系； 2了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)。基础热身：1. 对于总有成立，则= 。（思考：本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立。）解： 当时，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减， ，舍去。当时Ks5u 若时在和 上单调递增，在上单调递减。所以 当时在上单调递减，不符合题意，舍去。综上可知a=4.2. 设函数，其中a为实数。（）已知函数在处取得极值，求的值； （）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。（思考：第一小题求极值，实际上就是求函数的导数，函数在某一点取得极值，就是在这一点的导数值为零.）解：（I）在取得极值即（）即 （思考：要求这个式子在上恒成立，此时将a看做变量，这就是一个关于a的一次函数，并且斜率是大于零的.）令Ks5u 即对任意都成立则即知识梳理：1单调性与导数 若在上恒成立，在 函数若在上恒成立，在 函数 在区间上是增函数 在上恒成立；在区间上为减函数 在上恒成立.2极值与导数10. 设函数在点附近有定义，如果左 右 ，则是函数的一个极大值; 如果左 右 ，则是函数的一个极小值； 如果左右不改变符号，那么在这个根处注意: 极值是一个局部概念,不同与最值; 函数的极值不是唯一的; 极大值与极小值之间大小关系: ；数的极值点一定出现在区间的内部.20.求可导函数极值的步骤：；3利用导数求函数的最值设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤： ；例题分析：例1.已知函数，且是奇函数（）求，的值；（）求函数的单调区间（思考：从已知条件来看，求，的值应该从是奇函数着手）解：（）因为函数为奇函数， 所以，对任意的，即 又所以 所以解得（思考：求函数的单调区间，就是讨论导数值大于零，小于零的问题，解题过程中，以图表的形式呈现较为清晰，能够减少失误.）（）由（）得所以 当时，由得变化时，的变化情况如下表：00 所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增 当时，所以函数在上单调递增例2.已知函数，（）讨论函数的单调区间；Ks5u（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围（思考：导函数是一个开口向上的一元二次函数，当0时，导函数恒大于等于零，0时，导函数有大于零，也有小于零的部分，这就需要对a分区间进行讨论.）（思考：函数在某一区间为减函数，等价于，函数在这一区间的导函数是小于等于零的.） 例3.已知函数，R且. ()若曲线在点处的切线垂直于y轴，求实数的值； ()当时，求函数的最大值和最小值.（思考：函数在某一点的导数的几何意义就是，在这一点切线的斜率，现在题目中要求在P点的切线垂直于y轴，说明该点的切线的斜率为零，即P点的导函数值为零.）解： =Ks5u =. () 曲线在点处的切线垂直于y轴， 由导数的几何意义得， . （思考：将直接代入，会使方程变得很复杂，这里应该做一个变量替换，替换的同时，也要注意变量的范围也相应的发生了变化.） ()设，只需求函数的最大值和最小值. 令，解得或. ，. 当变化时，与的变化情况如下表：00极大值极小值 函数在和上单调递增；在上单调递减； 当，即 时，函数在上为减函数. , . 当，即 时，函数的极小值为上的最小值， .函数在上的最大值为与中的较大者. ，.Ks5u 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时. 综上，当时，的最小值为，最大值为； 当时，的最小值为，最大值为； 当时，的最小值为，最大值为. 例4.已知函数有三个极值点。Ks5u （I）证明：； （II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。（思考：函数有3个极值点，说明导函数有3个零点）解：（I）因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根. 设则 当时， 在上为增函数; 当时， 在上为减函数; 当时， 在上为增函数; 所以函数在时取极大值,在时取极小值. （当或时,最多只有两个不同实根.） 因为有三个不同实根, 所以且. 即,且,解得且故.（II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点. 不妨设为（），则 所以的单调递减区间是, 若在区间上单调递减，Ks5u则