江苏2018版高考数学复习第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其表面积体积教师用书文苏教版.docx

8.1 空间几何体的结构及其表面积、体积1.多面体的结构特征2.旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使xOz90，且yOz90.(2)画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴，它们相交于O，并使xOy45(或135)，xOz90，x轴和y轴所确定的平面表示水平面.(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段.(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.4.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR35.常用结论(1)与体积有关的几个结论一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论a.正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.(3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)圆柱的侧面展开图是矩形.()(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.()(6)菱形的直观图仍是菱形.()1.(教材改编)下列说法正确的是_.相等的角在直观图中仍然相等；相等的线段在直观图中仍然相等；正方形的直观图是正方形；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.答案解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变.故正确.2.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_ cm.答案2解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm).3.如图，直观图所表示的平面图形是_.(填序号)正三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形答案解析由直观图中，ACy轴，BCx轴，还原后原图ACy轴，BCx轴.直观图还原为平面图形是直角三角形.故正确.4.(2016南通、扬州、泰州三模)已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，那么该空间几何体的体积V_ cm3.答案1解析由表面展开图知该几何体是一个正方体与一个正四棱锥的组合体，所有棱长均为1，则正四棱锥的高为，所以V正方体1，V正四棱锥1，所以所求几何体的体积V1(cm3).5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是_.答案解析平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为2.题型一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是_.答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCDA1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知.思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.(1)以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为_.(2)给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为_.答案(1)1(2)解析(1)命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题对；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故正确的命题个数为1.(2)对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故正确.综上，命题不正确.题型二空间几何体的直观图例2(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为_.(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是_.正方形；矩形；菱形；一般的平行四边形.答案(1)a2(2)解析(1)如图所示的实际图形和直观图，由可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于D，则CDOCa.所以SABCABCDaaa2.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224 cm，CDCD2 cm.OC6(cm)，OAOC，故四边形OABC是菱形.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出.如图是水平放置的某个三角形的直观图，D是ABC中BC边的中点且ADy轴，AB，AD，AC三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么下列说法正确的有_.(填序号)最长的是AB，最短的是AC；最长的是AC，最短的是AB；最长的是AB，最短的是AD；最长的是AD，最短的是AC.答案解析ADy轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有ADBC，又AD为BC边上的中线，所以ABC为等腰三角形.AD为BC边上的高，则有AB，AC相等且最长，AD最短.题型三求空间几何体的表面积例3(1)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_.答案12解析由题意知该六棱锥为正六棱锥，设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.(2)(2016苏州模拟)如图，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积.解如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AE，AF，AD.则由AAEAAF，AAAA，又由题意知AEAB，AFAC，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab(1)ab.又斜三棱柱的底面积为2a2a2，斜三棱柱的表面积为(1)aba2.思维升华(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况.(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练3一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积.解(1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因为O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D (cm).故三棱台的斜高为 cm.(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336) (cm2)，S表S侧S上S下3262 (cm2).故三棱台的侧面积为 cm2，表面积为 cm2.题型四求简单几何体的体积例4(2016江苏改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积为_m3.答案312解析由PO12 m，知O1O4PO18 m.因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3).所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_.答案1解析在正ABC中，D为BC的中点，则有ADAB，又平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1C平面ABCBC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高.题型五与球有关的切、接问题例5(2016扬州模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_.答案解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .引申探究1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解正四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3.已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为_.答案解析如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，(4r)2()2r2，解得r，该球的表面积为4r24()2.15.巧用补形法解决立体几何问题典例(2016盐城模拟)如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_.思想方法指导解答本题时可用“补形法”完成.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等.解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.答案961.给出下列命题：在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.其中正确命题的序号是_.答案2.(2016连云港模拟)五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为_.答案10解析如图，在五棱柱ABCDEA1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2510(条).3.用平面截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面的距离为4，则此球的表面积为_.答案100解析依题意，设球半径为R，满足R2324225，S球4R2100.4.(2016常州模拟)如图所示，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形ABCD是一直角梯形，ABCD，ADCD，且BC与y轴平行，若AB6，DC4，AD2，则原平面图形的面积为_.答案20解析由题意得，直观图的面积S直(46)210，则原平面图形的面积S原2S直20.5.(2016盐城三模)若一个圆锥的侧面展开图是面积为4的半圆面，则该圆锥的体积为_.答案解析由侧面展开图是面积为4的半圆面，知圆锥的底面半径为，高为，从而圆锥的体积为.6.(2016南京模拟)直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，E为棱CC1的中点，则三棱锥A1B1C1E的体积为_.答案解析由题意得又因为E为棱CC1的中点，所以EC11，所以7.已知四面体ABCD满足ABCD，ACADBCBD2，则四面体ABCD的外接球的表面积是_.答案7解析(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连结AE，BE.ACADBCBD2，AECD，BECD.在RtAED中，CD，AE.同理BE.取AB的中点为F，连结EF.由AEBE，得EFAB.在RtEFA中，AFAB，AE，EF1.取EF的中点为O，连结OA，则OF.在RtOFA中，OA.同理得OAOBOCOD，该四面体的外接球的半径是，外接球的表面积是7.8.如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且POOB1.则三棱锥PABC体积的最大值为_.答案解析VPABCPOSABC，当ABC的面积最大时，三棱锥PABC体积达到最大值.当COAB时，ABC的面积最大，最大值为211，此时VPABCPOSABC.9.(2016徐州、连云港、宿迁联考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1平面AB1C1，AA11，底面ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为_.答案解析因为AA1平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以AA1AB1，又知AA11，A1B12，所以AB1，同理可得AC1，又知在AB1C1中，B1C12，所以AB1C1的B1C1上的高为h，其面积于是三棱锥AA1B1C1的体积进而可得此三棱柱ABCA1B1C1的体积10.(2015课标全国改编)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_.答案144解析如图，要使三棱锥O-ABC即C-OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C-OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO-ABC最大VC-OAB最大SOABRR2RR336，所以R6，得S球O4R2462144.11.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1B1C12，A1B1C190，AA14，BB13，CC12，求：(1)该几何体的体积；(2)截面ABC的面积.解(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于A2，B2.由直三棱柱性质及A1B1C190可知B2C平面ABB2A2，则222(12)226.(2)在AB