高考数学 第三章 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数课件 文 北师大版.ppt

第三章三角函数 三角恒等变形 解三角形第一节任意角的概念与弧度制 任意角的三角函数 1 角的有关概念 射线 旋转 象限角 正角 负角 零角 k 360o k z 2 弧度的定义和公式 1 定义 在以单位长为半径的圆中 的弧所对的圆心角为1弧度的角 它的单位符号是 读作 单位长度 rad 弧度 r 2 公式 3 任意角的三角函数 1 定义 在平面直角坐标系中 设角 的终边与单位圆交于点p u v 则sin cos tan 2 几何表示 三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 正弦线的起点都在x轴上 余弦线的起点都是原点 正切线的起点都是 1 0 v u 如图中有向线段mp om at分别叫做角 的 角 的 和角 的 正弦线 余弦线 正切线 4 特殊角的三角函数值 0 1 0 1 0 0 1 1 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 小于90 的角是锐角 2 锐角是第一象限角 反之亦然 3 与45 角终边相同的角可表示为k 360 45 k z或2k 45 k z 4 将分针拨快10分钟 则分针转过的角度是60 5 终边相同的角的同一三角函数值相等 6 点p tan cos 在第三象限 则角 终边在第二象限 解析 1 错误 负角小于90 但它不是锐角 2 错误 第一象限角不一定是锐角 如 350 是第一象限角 但它不是锐角 3 错误 不能表示成2k 45 k z 即角度和弧度不能混用 4 错误 拨快分针时 分针顺时针旋转 应为 60 5 正确 由诱导公式 一 可知或由三角函数的定义可得 6 正确 由已知得tan 0 cos 0 所以 为第二象限角 答案 1 2 3 4 5 6 1 终边落在第二象限的角可表示为 a 90 2k 180 2k k z b 2k 2k k z c 90 k 180 180 k 180 k z d k k k z 解析 选b a错 角度与弧度不能混用 c d错 当k为奇数时不成立 故选b 2 已知sin 0 那么角 是 a 第一象限角 b 第二象限角 c 第三象限角 d 第四象限角 解析 选c 由sin 0 则 的终边在一 三象限 故 是第三象限角 3 已知扇形的面积为2cm2 扇形圆心角的弧度数是4 则扇形的周长为 a 2 b 4 c 6 d 8 解析 选c 设扇形的弧长为l 半径为r 圆心角为 则解得r 1 故l r 4 1 4 所以扇形周长为2r l 2 1 4 6 4 已知角 终边上一点a 2 2 则tan 解析 答案 1 考向1终边相同的角的表示 典例1 1 若 是第三象限的角 则 是 a 第一或第二象限的角 b 第一或第三象限的角 c 第二或第三象限的角 d 第二或第四象限的角 2 已知角 是第一象限角 确定2 的终边所在的象限位置 思路点拨 1 由 为第三象限角求得 的范围 通过对k的奇偶性讨论可得解 2 由 所在的象限写出角 的范围 从而得2 的范围 最后确定终边所在的位置 规范解答 1 选b 由得故当k为偶数时 在第一象限 当k取奇数时 在第三象限 故选b 2 是第一象限角 k 4 2 k 4 k z 即2k 2 2 2k 2 k z 2 的终边在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上 当k 2n n z 时 的终边在第一象限 当k 2n 1 n z 时 即 的终边在第三象限 综上可得的终边在第一象限或第三象限 拓展提升 强化对终边相同角的表示与应用 1 所有与 的终边相同的角都可表示为 k 360 k z的形式 2 根据与 终边相同的角的表达式 可以写出一定范围内的角 也可以根据 的终边所在的象限 判断 的倍数角所在的象限或范围 3 与 终边相同的角的表达式中一定是k 360 或k 2 两种单位不能混用 变式训练 若角 与 的终边在一条直线上 则 与 的关系是 解析 当 的终边重合时 k 2 k z 当 的终边互为反向延长线时 k 2 2k 1 k z 答案 k 2 k z或 2k 1 k z 考向2弧度制的应用 典例2 1 已知扇形oab的圆心角 为120 半径r 6 求的长及扇形面积 2 已知扇形周长为20 当扇形的圆心角为多大时 它有最大面积 最大面积是多少 思路点拨 1 将圆心角化为弧度 再利用弧度制下的弧长 面积公式求解 2 利用扇形周长得半径与弧长的关系 将面积化为关于半径r的二次函数后求最值 规范解答 1 2 由已知得l 2r 20 10r r2 r 5 2 25 所以r 5时 面积有最大值 且smax 25 此时l 10 所以即当圆心角为2弧度时 面积有最大值25 互动探究 本例题 1 中若求扇形的弧所在的弓形面积 又将如何求解 解析 由题 1 解析得故弓形的面积为 拓展提升 弧度制应用的关注点 1 弧度制下 弧长l r 扇形面积此时 为弧度 在角度制下 弧长扇形面积此时n为角度 2 在解决弧长 面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形进行求解 变式备选 已知半径为10的圆o中 弦 ab 的长为10 1 求弦 ab 所对的圆心角 的大小 2 求角 所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积s 解析 1 由 o的半径r 10 ab 知 aob是等边三角形 2 由 1 可知 弧长l而 考向3三角函数的定义 典例3 1 2013 安庆模拟 已知函数y loga x 1 3 a 0且a 1 的图像恒过点p 若角 的终边经过点p 则sin2 2sin cos 的值等于 a b c d 2 已知角 的终边上一点p m m 0 且求cos tan 的值 思路点拨 1 先确定点p的坐标 然后利用定义求出sin cos 即可 2 先由并结合三角函数的定义建立关于参数m的方程 求出m的值 再根据定义求cos tan 规范解答 1 选c 由题意知点p坐标为 2 3 故所以因此 2 由题设知 r2 op 2 2 m2 o为原点 从而 于是3 m2 8 解得当时 当时 互动探究 将本例题 2 中改为如何求sin cos 解析 由已知得 又得m 1 拓展提升 1 三角函数定义的推广在直角坐标系xoy中 设p x y 是角 终边上任意一点 且点p到原点o的距离 po r 则2 定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角 终边上一点p的坐标时 可先求出点p到原点的距离r 然后利用三角函数的定义的推广求解 2 已知角 的终边所在的直线方程时 可分两种情况先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后利用三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的三角函数值 提醒 三角函数值只与角的终边的位置有关 而与终边上具体点的位置无关 变式备选 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 解析 角 的终边在直线3x 4y 0上 在角 的终边上任取一点p 4t 3t t 0 则x 4t y 3t 当t 0时 r 5t 当t 0时 综上或 易错误区 三角函数定义中忽略分类讨论致误 典例 2013 天津模拟 已知角 的终边上一点p 3a 4a a 0 则sin 误区警示 本题易出现的错误是 由终边上一点求三角函数时 由于没有考虑参数的取值情况 即没有对a的取值进行分类讨论 而求出r 5a 从而导致结果错误 规范解答 x 3a y 4a 1 当a 0时 r 5a 2 当a 0时 r 5a 答案 思考点评 1 任意角的三角函数的定义对于三角函数的定义 如果不是在单位圆中 设角 的终边经过点p x y 从而 op r 则sin 2 分类讨论思想的应用对于利用三角函数定义解题的题目中 如果含有参数 一定要考虑运用分类讨论解题 在分类讨论时要对参数的所有情况逐类讨论 最后要进行归纳总结 1 2013 铜川模拟 已知点p tan cos 在第三象限 则角 的终边在 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 解析 选b 由点p在第三象限知tan 0且cos 0 故角 的终边在第二象限 2 2013 汉中模拟 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2 则这个圆心角所对的弧长是 a 2 b c 2sin1 d sin2 解析 选b 过圆心作弦的垂线l 设半径为r 则故所以弧长l 3 2013 吉安模拟 p 3 y 为 终边上一点 则tan a b c d 解析 选d 由题意知解得y 4 当y 4时 当y 4时 故选d 4 2013 南昌模拟 已知角 的顶点为坐标原点 始边为x轴的正半轴 若p 4 y 是角 终边上一点 且则y 解析 由p 4 y 是角 终边上一点 且可知y 0 根据任意角的三角函数的定义得化简得y2 64 解得y 8 答案 8 1 2002年在北京召开的国际数学家大会 会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 如图 如果小正方形的面积为大正方形的面积为1 直角三角形中较小的锐角为 那么sin2 cos2 的值为 a 1 b c d 解析 选d 依题意设直角三角