高考数学 第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 北师大版.ppt

第四节直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 1 三种位置关系 2 两种研究方法 相交 相切 相离 相交 相切 相离 l 2 圆与圆的位置关系设圆c1 x a1 2 y b1 2 r12 r1 0 圆c2 x a2 2 y b2 2 r22 r2 0 相交 相切 相离 d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的必要不充分条件 2 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和 则两圆相交 3 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 4 过圆o x2 y2 r2外一点p x0 y0 作圆的两条切线 切点为a b 则o p a b四点共圆且直线ab的方程是x0 x y0y r2 解析 1 错误 当k 1时 圆心到直线的距离此时直线与圆相交 若直线与圆相交 则解得所以 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的充分不必要条件 而非必要不充分条件 2 错误 因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值 否则可能内切或内含 3 错误 只有当两圆相交时 方程才是公共弦所在的直线方程 4 正确 由已知可得o p a b四点共圆 其方程为即x2 y2 x0 x y0y 0 又圆o方程 x2 y2 r2 得 x0 x y0y r2 而两圆相交于a b两点 故直线ab的方程是x0 x y0y r2 答案 1 2 3 4 1 圆 x 1 2 y 2 2 6与直线2x y 5 0的位置关系是 a 相切 b 相交但直线不过圆心 c 相交过圆心 d 相离 解析 选b 由题意知圆心 1 2 到直线2x y 5 0的距离且2 1 2 5 0 因此该直线与圆相交但不过圆心 2 已知圆o1 x a 2 y b 2 4 o2 x a 1 2 y b 2 2 1 a b r 那么两圆的位置关系是 a 内含 b 内切 c 相交 d 外切 解析 选c 由已知o1 a b r1 2 o2 a 1 b 2 r2 1 o1o2 1 r1 r2 3 r1 r2 两圆相交 3 圆x2 y2 4x 0在点p 处的切线方程为 解析 选d 圆的方程可化为 x 2 2 y2 4 圆心坐标为 2 0 半径为2 点p在圆上 设切线方程为 切线方程为 4 已知点m x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内异于圆心的一点 则直线x0 x y0y r2与此圆的位置关系是 解析 因为点m x0 y0 是圆x2 y2 r2 r 0 内的一点 所以x02 y02 r2 圆心到直线x0 x y0y r2的距离所以直线与圆相离 答案 相离 5 若直线3x 4y m 0与圆x2 y2 2x 4y 4 0没有公共点 则实数m的取值范围是 解析 将圆x2 y2 2x 4y 4 0化为 x 1 2 y 2 2 1 圆心坐标为 1 2 半径为1 若直线与圆无公共点 则有 m10 答案 0 10 考向1利用 几何法 研究直线与圆的位置关系 典例1 1 2012 安徽高考 若直线x y 1 0与圆c x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是 a 3 1 b 1 3 c 3 1 d 3 1 2 2012 福建高考 直线与圆o x2 y2 4相交于a b两点 则弦ab的长度等于 3 2012 天津高考 设m n r 若直线 m 1 x n 1 y 2 0与圆 x 1 2 y 1 2 1相切 则m n的取值范围是 思路点拨 1 利用几何法 根据圆心到直线的距离不大于半径构建不等式求解 2 利用几何法 根据弦长求解 3 先根据圆心到直线的距离等于半径 得到m n的等量关系 再利用基本不等式求解 规范解答 1 选c 圆 x a 2 y2 2的圆心c a 0 到直线x y 1 0的距离为d 则 3 a 1 2 选b 圆x2 y2 4的圆心o 0 0 到直线的距离又圆的半径为r 2 3 选d 因为直线与圆相切 所以d r 令m n t 则t2 4t 4 0 t 互动探究 过点p 2 4 引本例题 3 中圆的切线 则切线方程如何 解析 当直线的斜率不存在时 直线方程为x 2 此时 圆心到直线的距离等于半径 直线与圆相切 符合题意 当直线的斜率存在时 设直线方程为y 4 k x 2 即kx y 4 2k 0 因为直线与圆相切 所以 圆心到直线的距离等于半径 即解得所以所求切线方程为即4x 3y 4 0 所以切线方程为x 2或4x 3y 4 0 拓展提升 1 几何法判断直线与圆的位置关系的流程 提醒 如果能判断直线过定点 则可由定点到圆心的距离 即点在圆内 圆上 圆外 判断直线与圆的位置关系 2 求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤 1 方法 待定系数法 2 步骤 判断点是否在圆上 若在圆上 则有且只有一条切线 若在圆外 则有且只有两条切线 设切线方程 一般设点斜式方程 利用圆心到直线的距离等于半径 求待定系数值 得切线方程 提醒 若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条 则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上 变式备选 已知直线l y kx 1 圆c x 1 2 y 1 2 12 1 试证明 不论k为何实数 直线l和圆c总有两个交点 2 求直线l被圆c截得的最短弦长 解析 1 因为不论k为何实数 直线l总过点a 0 1 而所以点a 0 1 在圆c的内部 即不论k为何实数 直线l总经过圆c内部的定点a 所以不论k为何实数 直线l和圆c总有两个交点 2 由平面几何知识知过圆内定点a 0 1 的弦 只有和ac垂直时才最短 而此时点a 0 1 为弦的中点 由勾股定理 知弦长为即直线l被圆c截得的最短弦长为 考向2利用 代数法 研究直线与圆的位置关系 典例2 1 2013 上饶模拟 已知圆m x cos 2 y sin 2 1 直线l y kx 下面四个命题中的真命题为 a 对任意实数k与 直线l和圆m相切 b 对任意实数k与 直线l和圆m都没有公共点 c 对任意实数 必存在实数k 使得直线l和圆m相切 d 对任意实数k 必存在实数 使得直线l和圆m相切 2 2013 盐城模拟 在平面直角坐标系xoy中 已知圆x2 y2 12x 32 0的圆心为q 过点p 0 2 且斜率为k的直线与圆q相交于不同的两点a b 求k的取值范围 以oa ob为邻边作平行四边形oadb 是否存在常数k 使得直线od与pq平行 如果存在 求k值 如果不存在 请说明理由 思路点拨 1 将圆的方程与直线方程联立 求得方程组的解 再逐个验证其真假 2 将过点p 0 2 的直线方程与圆q的方程联立消去y 得关于x的一元二次方程 利用其判别式大于0构建关于k的不等式求解 假设存在 利用共线 构建关于k的方程求解 但需验证k的值是否在 中范围内 规范解答 1 选d 圆的方程是x2 y2 2xcos 2ysin 0 将y kx代入 得 1 k2 x2 2 cos ksin x 0 解得因此对任意实数k 直线与圆至少有一个公共点 0 0 选项b不正确 只要x2 0 直线与圆就存在两个公共点 即只要ksin cos 0即可 根据k 的任意性 知选项a不正确 又当x2 0 即ksin cos 时 若 k1 k1 z 此时sin 0 cos 1 就不存在实数k使得等式cos ksin 成立 故选项c不正确 反之 对任意实数k 当k 0时 只要当k 0时 只要 满足即可 故选项d正确 故选d 2 圆的方程可写成 x 6 2 y2 4 所以圆心为q 6 0 过p 0 2 且斜率为k的直线方程为y kx 2 代入圆方程得x2 kx 2 2 12x 32 0 整理得 1 k2 x2 4 k 3 x 36 0 i 直线与圆交于两个不同的点a b等价于 4 k 3 2 4 36 1 k2 42 8k2 6k 0 解得即k的取值范围为 假设存在常数k 设a x1 y1 b x2 y2 则由方程 i 得 又y1 y2 k x1 x2 4 iii 而p 0 2 q 6 0 6 2 因为所以与共线等价于 2 x1 x2 6 y1 y2 即 x1 x2 3 y1 y2 将 ii iii 代入上式 解得由 知故不存在符合题意的常数k 拓展提升 1 代数法判断直线与圆的位置关系的三个步骤 1 将直线方程与圆的方程联立 消去x 或y 得到关于y 或x 的一元二次方程 2 求上述方程的判别式 并判断其符号 3 得出结论 2 代数法求直线被圆截得的弦长直线方程与圆的方程联立 消元转化为关于x的一元二次方程 由根与系数的关系即可求得弦长 变式训练 已知圆o x2 y2 4内一点p 0 1 过点p的直线l交圆o于a b两点 且满足 为参数 1 若 ab 求直线l的方程 2 若 2 求直线l的方程 3 求实数 的取值范围 解析 1 当直线l的斜率不存在时 ab 4 不满足 故可设所求直线l的方程为y k1x 1 代入圆的方程 整理得 1 k12 x2 2k1x 3 0 设a x1 y1 b x2 y2 则利用弦长公式可求得k1 1 故直线方程为y x 1或y x 1 2 当直线l的斜率不存在时 不满足 故可设所求直线l的方程为y k2x 1 代入圆的方程 整理得 1 k22 x2 2k2x 3 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2为方程 的两根 由可得x1 2x2 2 得解得所以直线l的方程为 3 当直线l的斜率不存在时 当直线l的斜率存在时 可设所求直线l的方程为y k3x 1 代入圆的方程 整理得 1 k32 x2 2k3x 3 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2为方程 的两根 由可得x1 x2 2 得而由可解得所以实数 的取值范围为 考向3圆与圆的位置关系 典例3 1 2012 山东高考 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的位置关系为 a 内切 b 相交 c 外切 d 相离 2 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦的长为则a 3 2013 咸阳模拟 已知圆c1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0与圆c2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 若圆c1与圆c2相外切 则实数m 思路点拨 1 利用几何法来判断 即判断两圆的圆心距与两半径和 差的绝对值的关系 2 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程 再利用半径 弦长的一半及弦心距构成的直角三角形求解 3 利用两圆外切得两圆圆心距等于两圆半径之和求解 规范解答 1 选b 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的圆心距两圆半径和为5 差的绝对值为1 所以所以两圆相交 2 两圆的方程相减 得公共弦所在的直线方程为 x2 y2 2ay 6 x2 y2 0 4 又a 0 结合图象 再利用半径 弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形 可知答案 1 3 两圆的标准方程为 x m 2 y 2 2 9 x 1 2 y m 2 4 圆心分别为c1 m 2 c2 1 m 半径分别为3 2 圆c1与圆c2外切 c1c2 3 2 5 即 解得m 5或2 答案 5或2 拓展提升 1 判断两圆位置关系的方法用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系 2 两圆公切线的条数 变式训练 两个圆 c1 x2 y2 2x 2y 2 0与c2 x2 y2 4x 2y 1 0的公切线有且仅有 a 1条 b 2条 c 3条 d 4条 解析 选b 由题知c1 x 1 2 y 1 2 4 则圆心c1 1 1 c2 x 2 2 y 1 2 4 圆心c2 2 1 两圆半径均为2 又 c1c2 则两圆相交 只有两条公切线 创新体验 直线与圆 圆与圆位置关系的创新命题 典例 2012 江苏高考 在平面直角坐标系xoy中 圆c的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 则k的最大值为 思路点拨 规范解答 如图 直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆c有公共点 只需保证圆心c到y kx 2的距离不大于2即可 而圆c的标准方程为 x 4 2 y2 1 圆心c 4 0 到直线y kx 2的距离由题意知整理得3k2 4k 0 解得答案 思考点评 1 方法感悟 本题充分体现了数形结合思想 转化与化归思想在解题中的应用 即通过数形结合将问题转化为圆心c到直线的距离问题 进而得到关于k的不等式 从而确定出k的范围 得出k的最大值 这种以 以形助解 探究解题思路的思想方法值得我们仔细体会 2 技巧提升 对于直线与圆 圆与圆位置关系的创新问题 解题的关键是作出符合要求的示意图 通过数形结合将创新信息转化为常规的直线与圆 圆与圆的位置关系 再利用处理直线与圆 圆与圆的位置关系的方法来解决 1 2012 广东高考 在平面直角坐标系xoy中 直线3x 4y 5 0与圆x2 y2 4相交于a b两点 则弦ab的长等于 解析 选b 由圆心 0 0 到直线3x 4y 5 0的距离为d 1 所以 2 2012 陕西高考 已知圆c x2 y2 4x 0 l是过点p 3 0 的直线 则 a l与c相交 b l与c相切 c l与c相离 d 以上三个选项均有可能 解析 选a 方法一 圆c的方程是 x 2 2 y2 4 点p到圆心c 2 0 的距离d 1 2 点p在圆c内部 直线l与圆c相交 方法二 将点p的坐标代入圆的方程 得 32 02 4 3 9 12 3 0 点p 3 0 在圆内 过点p的直线l与圆c相交 3 2013 宝鸡模拟 在平面直角坐标系xoy中 分别作圆c1 x2 y2 2x 2y 1 0和圆c2 x2 y2 4x 6y 9 0 点p为两圆外一动点 过p作两圆的切线pa pb a b为切点 若 pa pb 则 op 的最小值为 解析 选b 设p点坐标为 x y 由 pa pb 知 pa 2 pb 2 即 x 1 2 y 1 2 1 x 2 2 y 3 2 4 整理得3x 4y 4 0 op 的最小值为坐标原点o 0 0 到直线3x 4y 4 0的距离 即 4 2012 江西高考 过直线上点p作圆x2 y2 1的两条切线 若两条切线的夹角是60 则点p的坐标是 解析 设p x y 则由已知可得po o为原点 与切线的夹角为30 则 po 2 答案 5 2012 天津高考 设m n r 若直线l mx ny 1 0与x轴相交于点a 与y轴相交于点b 且l与圆x2 y2 4相交所得弦的长为2 o为坐标原点 则 aob面积的最小值为 解析 如图所示 在rt a ob 中 oa 2 a b 1 在rt a ob 中 a o2 a b 2 b o2 即故最小值为3 答案 3 1 集合a x y x2 y2 4 b x y