高考数学 第二章 第四节 指数函数课件 理 新人教A版.ppt

第四节指数函数 1 根式 1 根式的概念 若 则x叫做a的n次方根 其中n 1且n n 式子叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 a的n次方根的表示 xn a 2 根式的性质 2 有理数指数幂 1 分数指数幂的意义 正分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 负分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂 没有意义 2 有理数指数幂的运算性质 aras a 0 r s q ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 上述有理数指数幂的运算性质 对于无理数指数幂也适用 ar s ars arbr 3 指数函数的概念 1 解析式 y 2 自变量 3 定义域 ax a 0且a 1 x r 4 指数函数的与性质 r 0 0 1 y 1 0 y 1 0 y 1 y 1 增函数 减函数 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 4 2 3 函数y a x是r上的增函数 4 函数的值域是 0 5 函数y 2x 1是指数函数 解析 1 错误 没有意义 2 错误 底数为负数时 指数不能约分 3 错误 当a 1时函数是r上的减函数 当0 a 1时函数是r上的增函数 4 错误 因为x2 1 1 所以y a 即值域为 a 5 错误 不符合指数函数的定义 答案 1 2 3 4 5 1 化简的结果为 a 9 b 7 c 10 d 9 解析 选b 2 化简得 a 2x2y b 2xy c 4x2y d 2x2y 解析 选d 3 当a 0且a 1时 函数f x ax 2 3的图象必过定点 解析 由a0 1知 当x 2 0 即x 2时 函数f x 的图象恒过定点 此时 f 2 2 即图象必过定点 2 2 答案 2 2 4 指数函数y 2 a x在定义域内是减函数 则a的取值范围是 解析 由题意知 0 2 a 1 即1 a 2 答案 1 2 5 函数的值域是 解析 1 x r y 0 答案 0 考向1指数幂的化简与求值 典例1 化简 1 2 思路点拨 将根式化为分数指数幂 负分数指数幂化为正分数指数幂 底数为小数的化成分数 然后运用幂的运算性质进行计算 规范解答 1 原式 2 原式 拓展提升 指数幂运算的一般原则 1 有括号的先算括号里的 无括号的先做指数运算 2 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 3 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 4 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数幂的运算性质来解答 提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数 也不能既有分母又含有负指数 变式训练 1 计算下列各题 解析 原式 原式 2 已知 解析 m m 1 14 m m 1 1 14 1 15 考向2指数函数图象的应用 典例2 已知函数y x 1 1 作出图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出当x取什么值时函数有最值 思路点拨 将函数写成分段函数的形式 作出函数的图象 由图象可求单调区间及最值 规范解答 1 由已知可得 其图象由两部分组成 一部分是 另一部分是 y 3x x 0 图象如图所示 2 函数在 1 上是增函数 在 1 上是减函数 3 当x 1时 函数取最大值1 无最小值 拓展提升 1 指数型函数的性质问题的求解思路对指数型函数的性质 单调性 最值 大小比较 零点等 的求解往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 然后数形结合使问题得解 2 指数型方程 不等式的求解思路一些指数型方程 不等式问题的求解 往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 变式训练 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 a 1 的图象有两个公共点 求实数a的取值范围 解析 分底数01两种情况 分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象 如图 从图中可以看出 只有当0 a 1 且0 2a 1 即时 两函数才有两个交点 所以 考向3指数函数性质的应用 典例3 已知 a 0且a 1 1 讨论f x 的奇偶性 2 求a的取值范围 使f x 0在定义域上恒成立 思路点拨 先求函数的定义域 再判断奇偶性 对于恒成立问题 可借助函数的奇偶性 只讨论x 0的情况 规范解答 1 由于ax 1 0 则ax 1 得x 0 所以函数f x 的定义域为 x x 0 x r 对于定义域内任意x 有 f x 是偶函数 2 由 1 知f x 为偶函数 只需讨论x 0时的情况 当x 0时 要使f x 0 即即即即ax 1 0 ax 1 ax a0 又 x 0 a 1 因此a 1时 f x 0在定义域上恒成立 拓展提升 利用指数函数的性质可求解的问题及其解题思路 1 应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小 2 与指数函数有关的指数型函数的定义域 值域 最值 单调性 奇偶性的求解方法 与前面所讲一般函数的求解方法一致 只需根据条件灵活选择即可 变式训练 1 函数的单调递减区间为 值域为 解析 令g x x2 4x 3 x 2 2 7 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而在r上为单调递减 所以f x 在 2 上单调递减 又g x x 2 2 7 7 答案 2 3 7 2 已知函数 a 0且a 1 求f x 的定义域 讨论f x 的奇偶性 讨论f x 的单调性 解析 f x 的定义域是r f x 是奇函数 设x1 x2是r上任意两个实数 且x1 x2 则 x1 x2 当a 1时 从而 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为r上的增函数 当0 a 1时 从而 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x 为r上的减函数 易错误区 忽略讨论及验证致误 典例 2012 山东高考 若函数f x ax a 0 a 1 在 1 2 上的最大值为4 最小值为m 且函数在 0 上是增函数 则a 误区警示 本题易出现的错误主要有两个方面 1 误以为a 1 未进行分类讨论从而求得错误答案 2 对条件 g x 在 0 上是增函数 不会使用 求得结果后未进行检验得到两个答案 规范解答 若a 1 有a2 4 a 1 m 此时此时为减函数 不合题意 若0 a 1 有a 1 4 a2 m 故检验知符合题意 答案 思考点评 1 指数函数的底数不确定时应分类讨论指数函数的底数不确定时 单调性不明确 从而无法确定其最值 故应分a 1和0 a 1两种情况讨论 2 根据函数的单调性确定其最值根据函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法之一 熟练掌握基本初等函数的单调性及复合函数的单调性是求解的基础 1 2013 揭阳模拟 设y1 40 9 y2 80 48 y3 1 5 则 a y3 y1 y2 b y2 y1 y3 c y1 y3 y2 d y1 y2 y3 解析 选c y1 21 8 y2 21 44 y3 21 5 1 8 1 5 1 44 21 8 21 5 21 44 y1 y3 y2 2 2013 东莞模拟 已知f x 32x k 1 3x 2 当x r时 f x 恒为正值 则k的取值范围是 a 1 b c d 解析 选b 令t 3x 则t 0 由题意知t 0时 t2 k 1 t 2 0恒成立 即在t 0 上恒成立 因为所以即 3 2013 韶关模拟 设a 22 5 b 2 50 则a b c的大小关系是 a a c b b c a b c a b c d b a c 解析 选c b 2 50 1 则2 2 5 1 22 5 即c b a 4 2013 江门模拟 若函数y ax b 1 a 0且a 1 的图象经过第二 三 四象限 则a b的取值范围分别为 解析 根据题意画出函数y ax b 1 a 0且a 1 的大致图象 如图所示 所以0 a 1 且1 b 1 0 即0 a 1 b 0 答案 0 a 1 b 0 5 2012 上海高考 方程4x 2x 1 3 0的解是 解析 方法一 原方程4x 2x 1 3 0可化为 2x 2 2 2x 3 0 即 2x 3 2x 1 0 由于2x 0 x r 2x 3 0 即x log23 方法二 令t 2x 则t 0 原方程可化为t2 2t 3 0 解得t 3或t 1 舍去 即2x 3 x log23 答案 x log23 1 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x