高中数学 3．4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修11.pptVIP

人教a版高中数学选修1 1多媒体课件 3 4生活中的优化问题举例 第三章导数及其应用 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常被称为优化问题 例1 汽油的使用效率何时最高 汽油的消耗量w 单位 l 与汽车的速度v 单位 km h 之间有一定的关系 汽油的消耗量w是汽车速度v的函数 根据你的生活经验 思考下面两个问题 1 是不是汽车的速度越快 汽油的消耗量越大 2 汽油的使用效率最高 的含义是什么 分析 汽油的使用效率 单位 l km 汽油消耗量 汽车行驶路程 如果用g表示每千米平均的汽油消耗量 s表示汽车行驶的路程 单位 km 则 解 因为 其中g为汽油消耗平均率 即每小时的汽油消耗量 单位 l h g的最小化问题即g v的最小化问题 最小值约为5 90l 即约为0 056l 例2 磁盘的最大存储量问题 1 你知道计算机是如何存储 检索信息的吗 2 你知道磁盘的结构吗 3 如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息 问题 现有一张半径为r的磁盘 它的存储区是半径介于r与r的环行区域 是不是r越小 磁盘的存储量越大 2 r为多少时 磁盘具有最大存储量 最外面的磁道不存储任何信息 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数 1 它是一个关于r的二次函数 从函数的解析式可以判断 不是r越小 磁盘的存储量越大 2 为求f r 的最大值 先计算 解得 例3 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 2 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是0 8 r2分 其中r是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售1ml的饮料 制造商可获利0 2分 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm 问题 1 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 2 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润是 1 当半径为2cm时 利润最小 这时f 2 0 2 当半径为6cm时 利润最大 从图中可以看出 从图中 你还能看出什么吗 解决优化问题的基本思路 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 用函数表示的数学问题 练习1 一条长为l的铁丝截成两段 分别弯成两个正方形 要使两个正方形的面积和最小 两段铁丝的长度分别是多少 则两个正方形面积和为 由问题的实际意义可知 练习2 如图 在二次函数f x 4x x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形abcd 求这个矩形的最大面积 解 设b x 0 0 x 2 则a x 4x x2 从而 ab 4x x2 bc 2 2 x 故矩形abcd的面积为 s x ab bc 2x3 12x2 16x 0 x 2 因此当点b为时 矩形的最大面积是 令 得 所以当时 练习3 用总长14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的一边比另一边长0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 解 设容器底面短边长为xm 则另一边长为 x 0 5 m 容器的高为 14 8 4x 4 x 0 5 4 3 2 2x 由问题的实际意义 要求x 0 3 2 2x 0 解得x的取值范围是0 x 1 6 记容器的容积为ym3 则y x x 0 5 3 2 2x 0 x 1 6 即有y 2x3 2 2x2 1 6x 0 x 1 6 求导数得 令 得15x2 11x 4 0 解得x1 1 x2 4 15 不合题意 舍去 所以在定义域 0 1 6 内 只有x 1使导数为0 且当x值接近0或1 6的一端时 y值都很小 接近0 因此 当x 1时 y取最大值 得y最大