高优指导高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值课件 文 北师大版.ppt

3 2导数与函数的单调性 极值 最值 2 考纲要求 1 了解函数单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数不超过三次 3 1 导函数的符号和函数的单调性的关系 1 如果在某个区间内 都有函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是增函数 2 如果在某个区间内 都有函数y f x 的导数f x 0 则在这个区间上 函数y f x 是减函数 2 函数的极值与导数 1 函数的极大值点和极大值 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 函数的极小值点和极小值 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都大于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 3 极值和极值点 函数的极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 4 4 求可导函数y f x 的极值点的步骤 确定函数f x 的定义域 并求出导数f x 解方程f x 0 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 左正右负 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 左负右正 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号相同 则x0不是极值点 5 1 2 3 4 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 已知函数f x 在 a b 内可导 则f x 0是f x 为增函数的充要条件 2 函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 3 对可导函数f x f x0 0是x0点为极值点的充要条件 4 函数的极大值不一定比极小值大 5 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 6 1 2 3 4 5 2 如图是函数y f x 的导函数f x 的图像 则下面判断正确的是 a 在区间 2 1 上f x 是增函数b 在区间 1 3 上f x 是减函数c 在区间 4 5 上f x 是增函数d 在区间 2 3 上f x 不是单调函数 答案 解析 7 1 2 3 4 5 3 函数f x x2 lnx的最小值是 a 0b c 1d 不存在 答案 解析 8 1 2 3 4 5 4 如图是f x 的导函数f x 的图像 则f x 的极小值点的个数为 答案 解析 9 1 2 3 4 5 5 若函数f x x3 ax 2在 1 上是增函数 则实数a的取值范围是 答案 解析 10 1 2 3 4 5 自测点评1 函数f x 在区间 a b 上递增 则f x 0 f x 0在 a b 上成立 是 f x 在 a b 上单调递增 的充分不必要条件 2 对于可导函数f x f x0 0 是 函数f x 在x x0处有极值 的必要不充分条件 如函数y x3在x 0处导数为零 但x 0不是函数y x3的极值点 3 求最值时 应注意极值点和所给区间的关系 关系不确定时 需要分类讨论 不可想当然认为极值就是最值 4 函数最值是 整体 概念 而函数极值是 局部 概念 极大值与极小值之间没有必然的大小关系 11 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点1利用导数研究函数的单调性例1 2015重庆 文19 已知函数f x ax3 x2 a r 在处取得极值 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 思考 如何利用导数的方法研究函数的单调性 12 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 令g x 0 解得x 0 x 1或x 4 当x0 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知 g x 在 4 和 1 0 内为减函数 在 4 1 和 0 内为增函数 13 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 如何利用导数的方法研究函数的单调性 解题心得 1 导数法求函数单调区间的一般流程 求定义域 求导数f x 求f x 0在定义域内的根 用求得的根划分定义区间 确定f x 在各个开区间内的符号 得相应开区间上的单调性 2 利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 不含参数时 解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 3 若可导函数f x 在指定的区间d上递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 14 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练1 2015浙江嘉兴质检 已知函数 1 当时 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在 1 1 上为单调函数 求实数a的取值范围 令f x 0 得ex 1或ex 2 即x 0或x ln2 令f x 0 则xln2 令f x 0 则0 x ln2 f x 的递增区间是 0 ln2 递减区间是 0 ln2 15 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 16 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点2利用导数研究函数的极值例2 2015天津模拟 已知函数f x lnx a2x2 ax a r 1 求f x 的单调区间与极值 2 若函数在区间 1 上单调递减 求实数a的取值范围 17 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 18 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 19 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 函数的导数与函数的极值有怎样的关系 解题心得 1 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 2 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调函数没有极值 3 利用导数研究函数极值的一般流程 20 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 21 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 22 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 2 若f x 为r上的单调函数 则f x 在r上不变号 结合 与条件a 0 知1 ax2 2ax 0在r上恒成立 即 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合a 0 知0 a 1 所以a的取值范围为 a 0 a 1 23 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 考点3利用导数研究函数的最值 24 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 25 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 思考 求函数的最值可划分为哪几步 解题心得 求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 26 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 对点训练3已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为m m 则m m 答案 解析 27 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 28 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 29 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 函数y f x 在 a b 内可导 f x 在 a b 上任意子区间内都不恒等于零 则f x 0 f x 在 a b 上为增函数 f x 0 f x 在 a b 上为减函数 2 求可导函数极值的步骤 1 求f x 2 求f x 0的根 3 判定根两侧导数的符号 4 下结论 3 求函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值时 首先求出各极值及区间端点处的函数值 然后比较其大小 得结论 最大的就是最大值 最小的就是最小值 30 考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 3 一个函数在其定义域内最值是唯一的 可以在区间的端点取得 4 解题时 要注意区分求单调性和已知单调性的问题 处理好当f x 0时的情况 正确区分极值点和导数为0的点 31 高频小考点 用导数的方法求参数的取值范围典例1已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0 且x0 0 则a的取值范围是 a 2 b 1 c 2 d 1 答案 c解析 当a 0时 f x 3x2 1存在两个零点 不合题意 32 33 典例2函数f x ax3 3x在 1 1 上为单调减函数 则a的取值范围是 答案 1 解析 f x 3ax2 3 f