高考数学 第十二章 第二节 二项式定理课件 理 苏教版.ppt

第二节二项式定理 1 二项式定理 1 定理 a b n 2 通项第r 1项为 tr 1 3 二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为 2 二项式系数的性质 3 各个二项式系数的和 1 a b n的展开式的各个二项式系数的和等于 即 2 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和 即 2n 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 是二项展开式的第r项 2 通项中的a与b不能互换 3 二项展开式中 系数最大的项为中间一项或中间两项 4 a b n的展开式中某一项的二项式系数与a b无关 5 a b n某项的系数是该项中非字母因数部分 包括符号等 与该项的二项式系数不同 解析 1 错误 由二项展开式通项的定义可知 应是二项展开式的第r 1项 2 正确 通项中的a与b如果互换 则它将成为 b a n的第r 1项 3 错误 由二项展开式中某项的系数的定义知 二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项 而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项 4 正确 因为二项式 a b n的展开式中第r 1项的二项式系数为 显然它与a b无关 5 正确 因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分 包括符号构成的 一般情况下 不等于二项式系数 答案 1 2 3 4 5 考向1求特定项或特定项的系数 典例1 2012 天津高考改编 在的展开式中 1 求含x的项的系数 2 求展开式中的第2项 思路点拨 利用二项展开式的通项求解 规范解答 1 令10 3r 1 则r 3 含x的项的系数为 40 2 互动探究 在本例中 x的整式项有几项 分别是第几项 解析 由本例的解析可知 又因为r 0 1 2 3 4 5 所以当r 0 1 2 3时 分别是x的整式项 共有4项 它们分别是第一项 第二项 第三项和第四项 拓展提升 求二项展开式中的项或项的系数的方法 1 展开式中常数项 有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数 解决这类问题时 先要合并通项式中同一字母的指数 再根据上述特征进行分析 2 有关求二项展开式中的项 系数 参数值或取值范围等 一般要利用通项公式 运用方程思想进行求值 通过解不等式 组 求取值范围 提醒 二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念 一般地 某一项的系数是指该项中字母前面的常数值 包括正负符号 它与a b的取值有关 而二项式系数与a b的取值无关 变式备选 2012 安徽高考改编 求的展开式的常数项 解析 第一个因式取x2 第二个因式取得 第一个因式取2 第二个因式取 1 5得 2 1 5 2 展开式的常数项是5 2 3 考向2二项式系数的和与部分项系数的和 典例2 设 3x 1 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 1 求a0 a1 a2 a3 a4 2 求a0 a2 a4 3 求a1 a3 4 求a1 a2 a3 a4 5 求各项二项式系数的和 思路点拨 本题给出二项式及其二项展开式 求各项系数和或部分项系数和 可用赋值法 即令x取特殊值来解决 规范解答 1 令x 1 得a0 a1 a2 a3 a4 3 1 4 16 2 令x 1得a0 a1 a2 a3 a4 3 1 4 256 而由 1 知a0 a1 a2 a3 a4 3 1 4 16 两式相加 得a0 a2 a4 136 3 由 1 2 得 a0 a1 a2 a3 a4 a0 a2 a4 a1 a3 120 4 令x 0得a0 1 即a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 a0 16 1 15 5 各项二项式系数的和为 拓展提升 赋值法的应用 1 形如 ax b n ax2 bx c m a b c r 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 2 对形如 ax by n a b r 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 3 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 奇数项系数之和为偶数项系数之和为 变式训练 已知 1 3x 9 a0 a1x a2x2 a9x9 求 a0 a1 a2 a9 的值 解析 x的奇数次方的系数都是负值 所以 a0 a1 a2 a9 a0 a1 a2 a3 a9 所以已知条件中只需令x 1即可 即 a0 a1 a2 a9 1 3 9 49 考向3二项式定理的综合应用 典例3 已知n n 求证 1 2 22 23 25n 1能被31整除 思路点拨 先求和 再将和式化成含有31的二项式 展开即可证明 规范解答 1 2 22 23 25n 1显然括号内的数为正整数 故原式能被31整除 拓展提升 1 整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数 或式 之间的倍数关系 是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路 关键是要合理地构造二项式 并将它展开进行分析判断 2 求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算 当n不很大 x 比较小时 1 x n 1 nx 变式训练 求1 025精确到0 01的近似值 解析 1 025 1 0 02 5 当精确到0 01时 只要展开式的前三项和 1 0 10 0 004 1 104 近似值为1 10 1 2012 大纲版全国卷改编 若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等 求该展开式中的系数 解析 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同 即所以n 8 所以展开式的通项为令8 2k 2 解得k 5 所以所以的系数为 2 2013 常州模拟 设二项展开式的小数部分为bn 1 计算c1b1 c2b2的值 2 求证 cnbn 22n 1 解析 1 2 两式相减得 而为整数 又所以所以 3 2012 湖北高考改编 设a z 且0 a 13 若512012 a能被13整除 求a的值 解析 能被52整除 即能被13整除 若512012 a能被13整除 则a 1能被13整除 又a z 且0 a 13 则a 12 4 已知的展开式的二项式系数之和为32 常数项为80 求a的值 解析 展开式的二项式系数之和为32 2n 32即n 5 通项令r 3 则得常数项为 已知常数项为80 变式备选 设的展开式中x3的系数为a 常数项为b 若b 4a 求a的值 解析 b 4a a 0 a 2 5 2013 盐城模拟 已知数列 cn 满足试证明 1 当n 2时 有cn 2 2 cn 3 证明 1 当n 2时 所以不等式成立 2 6 2013 徐州模拟 已知 1 若求证 a是奇数 2 求证 对于任意n n 都存在正整数k 使得 证明 1 由二项式定理 得因为所以因为为偶数 所以a是奇数 2 由 1 设则所以当n为偶数时 a2 2b2 1 存在k a2 使得当n为奇数时 a2 2b2 1 存在k 2b2 使得综上 对于任意n n 都存在正整数k 使得 7 2013 淮安模拟 设数列 an 是等比数列 公比q是的展开式中的第二项 按x的降幂排列 1 用n x表示通项an与前n项和sn 2 若用n x表示an 解析 1 m 3 a1 1 由的展开式中的通项公式知 2 当x 1时 又当x 1时 8 2013 徐州模拟 已知 1 x n展开式的各项依次记为a1 x a2 x a3 x an x an 1 x 设f x a1 x 2a2 x 3a3 x nan x n 1 an 1 x 1 若a1 x a2 x a3 x 的系数依次成等差数列 求n的值 2 求证 对任意x1 x2 0 2