高中数学 第二节 参数方程课件 新人教A版选修42.ppt

第二节参数方程 1 参数方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 并且对于t的每一个允许值 由这个方程组所确定的点m x y 都在这条曲线上 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程f x y 0叫做普通方程 2 直线 圆 椭圆的普通方程和参数方程 x0 tcos y0 tsin a rcos b rsin acos bsin 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 曲线的参数方程中的参数都有实际意义 2 参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的 3 圆的参数方程中的参数 与椭圆的参数方程中的参数 的几何意义相同 4 普通方程化为参数方程 参数方程的形式不惟一 解析 1 错误 曲线的参数方程中的参数 可以具有物理意义 可以具有几何意义 也可以没有明显的实际意义 2 错误 把普通方程化为参数方程后 很容易改变变量的取值范围 从而使得两种方程所表示的曲线不一致 3 错误 圆的参数方程中的参数 表示半径的旋转角 而椭圆的参数方程中的参数 表示对应的大圆或小圆半径的旋转角 即离心角 4 正确 用参数方程解决转迹问题 若选用的参数不同 那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同 答案 1 2 3 4 考向1直线的参数方程与应用 典例1 已知直线的参数方程 t为参数 1 求直线与y轴的交点坐标 2 求直线的倾斜角 思路点拨 1 令x 0 求参数的值代入y计算 2 将直线的参数方程化为普通方程 利用直线的斜率求倾斜角 也可以将直线的参数方程化为标准形式再确定直线的倾斜角 规范解答 1 令x 0 得t 1 代入所以直线与y轴的交点坐标为 2 方法一 直线 t为参数 的普通方程为斜率即又 0 故直线的倾斜角为 方法二 直线 t为参数 即直线 t为参数 令t 2t 得所以直线的倾斜角为 互动探究 本例中条件不变 m0 1 2 当参数t 1时对应直线上的点为m 求 mm0 解析 本例中 m0 1 2 为直线上的点 当参数t 1时对应直线上的点为则 mm0 2 拓展提升 直线的参数方程的标准形式的应用设过点m0 x0 y0 倾斜角为 的直线l的参数方程是x x0 tcos y y0 tsin 若m1 m2是l上的两点 其对应参数分别为t1 t2 则 1 m1 m2两点的坐标分别是 x0 t1cos y0 t1sin x0 t2cos y0 t2sin t是参数 2 m1m2 t1 t2 3 若线段m1m2的中点m所对应的参数为t 则中点m到定点m0的距离 mm0 t 4 若m0为线段m1m2的中点 则t1 t2 0 变式备选 直线l过点p 1 2 其参数方程为 t是参数 直线l与直线2x y 2 0交于点q 求 pq 与pq中点的坐标 解析 方法一 将直线l的参数方程化为普通方程为y 3 x 代入2x y 2 0得点q的坐标为 1 4 pq pq中点的坐标为 0 3 方法二 将直线l的参数方程化为标准形式为代入2x y 2 0得t pq t 点p q对应的参数分别为0 2 所以中点对应的参数为1 所以pq中点的坐标为 0 3 考向2圆的参数方程与应用 典例2 已知直线的极坐标方程为圆m的参数方程为 其中 为参数 1 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求圆m上的点到直线的距离的最小值 思路点拨 1 利用三角函数恒等式化简后得到直线的直角坐标方程 2 利用直线与圆的位置关系以及几何性质计算最小值 规范解答 1 sin cos 1 所以直线的直角坐标方程为x y 1 0 2 圆m的普通方程为x2 y 2 2 4 圆心m 0 2 到直线x y 1 0的距离所以直线与圆相离 圆m上的点到直线的距离的最小值为 拓展提升 直线与圆的位置关系 1 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 直线与圆的普通方程联立所得的一元二次方程的根的判别式为 则 2 当直线与圆相离时 圆上的点到直线的距离的最大值为d r 最小值为d r 提醒 判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法 即判别式法 两种 解题时要灵活选取不同的方法 变式训练 若p 2 1 为曲线的弦的中点 求该弦所在直线的普通方程 解析 曲线 0 2 的普通方程为 x 1 2 y2 25 表示圆心为c 1 0 半径为5的圆 直线cp的斜率弦所在直线的斜率为1 所以弦所在直线的普通方程为y 1 x 2 即x y 3 0 考向3椭圆的参数方程与应用 典例3 若点p x y 是曲线x2 3y2 3上一点 求x y的取值范围 思路点拨 由椭圆的参数方程化为求三角函数的值域 规范解答 曲线x2 3y2 3即由椭圆的参数方程 为参数 r 得x y cos sin 2sin 则x y的取值范围是 2 2 拓展提升 椭圆的参数方程的特点 1 椭圆的参数方程与三角函数的关系密切 解题时要注意角的取值范围 2 一般地说 如果题目中涉及椭圆上的动点 应考虑用参数方程来表示点的坐标 可使解题目标明确 过程表达清晰 求解方便 变式训练 1 椭圆 a b 0 与x轴正方向交于点a o为原点 若椭圆上存在点p 使op ap 求椭圆离心率e的取值范围 2 2012 湖南高考改编 在直角坐标系xoy中 已知曲线c1 t为参数 与曲线c2 为参数 a 0 有一个公共点在x轴上 求a的值 解析 1 设椭圆 a b 0 上的点p的坐标为 acos bsin o 0 0 a a 0 由op ap 得 0 即 acos bsin acos a bsin 0 得a2cos2 a2cos b2sin2 0 整理 得e2 0 得 e2 1 即 e 1 所以椭圆离心率的取值范围是 2 曲线c1 t为参数 的普通方程为y 3 2x 与x轴交点为曲线c2 为参数 的普通方程为其与x轴交点为 a 0 a 0 由a 0 曲线c1与曲线c2有一个公共点在x轴上 知 考向4极坐标方程与参数方程的综合题 典例4 2012 辽宁高考 在直角坐标系xoy中 圆c1 x2 y2 4 圆c2 x 2 2 y2 4 1 在以o为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆c1 c2的极坐标方程 并求出圆c1 c2的交点坐标 用极坐标表示 2 求出c1与c2的公共弦的参数方程 思路点拨 1 由公式求得极坐标方程 再将极坐标方程联立方程组求交点坐标 2 将两圆交点的极坐标化为直角坐标 再求公共弦的参数方程 规范解答 1 由公式得x2 y2 2 所以圆c1 x2 y2 4的极坐标方程为 2 圆c2 x 2 2 y2 4的极坐标方程为 4cos 解得 2 所以圆c1 c2的交点的极坐标为 2 2 2 由 1 知 圆c1 c2的交点的直角坐标为所以圆c1 c2的公共弦的参数方程为 拓展提升 圆与圆的位置关系以及应用 1 两圆的位置关系以及意义 两圆的半径分别为r r 且r r d为圆心距 2 若圆c1与圆c2外离 圆心距为d 两圆的半径分别为r1 r2 动点a在圆c1上 动点b在圆c2上 则a b之间距离的最小值为d r1 r2 最大值为d r1 r2 3 若两圆相交 则公共弦所在直线的方程可直接由两圆的直角坐标方程相减得到 变式训练 在极坐标系中 圆c1的方程为以极