2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编4：导数2

2012 全国各地模拟分类汇编理 导数 2 湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三 10 月综合理 用max a b 表示 a b 两个数中的最 大数 设 2 max f xxx 1 4 x 那么由函数 yf x 的图象 x 轴 直线 1 4 x 和 直线2x 所围成的封闭图形的面积是 答案 35 12 湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三 10 月综合理 用max a b 表示 a b 两个数中的最 大数 设 2 max f xxx 1 4 x 那么由函数 yf x 的图象 x 轴 直线 1 4 x 和 直线2x 所围成的封闭图形的面积是 答案 35 12 西安市第一中学西安市第一中学 20122012 学年度第一学期期中学年度第一学期期中 在平面直角坐标系中 由 x 轴的正半轴 y 轴的正半轴 曲线以及该曲线在处的切线所围成图形的面积是 x ye 1 xa a A B C D a e1 a e 1 2 a e 1 2 1 a e 答案 D 黑龙江省绥棱一中黑龙江省绥棱一中 2012 届高三理科期末届高三理科期末 若 cos 3 0 f xx 是奇函数 则 f xfx 答案 福建省南安一中福建省南安一中 20122012 届高三上期末届高三上期末 设 其中为自然对数的底 2 2 1 1 1 0 ex x xx xfe 数 则的值为 2 0 e dxxf 答案 3 7 湖北省武昌区湖北省武昌区 20122012 届高三年级元月调研届高三年级元月调研 函数 y 的图象与 x 轴所围成图sin 0 x x 形的面积为 答案 2 湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三 10 月综合理 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切 线与两个坐标围成的三角形的面积为 18 则a A 64 B 32 C 16 D 8 答案 A 北京市西城区北京市西城区 20122012 学年度第一学期期末学年度第一学期期末 已知函数 1ln 2 1 2 xaxxxf 其中a R 若2x 是 xf的极值点 求a的值 求 xf的单调区间 若 xf在 0 上的最大值是0 求a的取值范围 答案 解 1 1 1 xaax fxx x 2 分 依题意 令 2 0 f 解得 1 3 a 3 分 经检验 1 3 a 时 符合题意 4 分 解 当0 a时 1 x fx x 故 xf的单调增区间是 0 单调减区间是 0 1 5 分 当0a 时 令 0fx 得 1 0 x 或 2 1 1x a 当10 a时 f x与 fx 的情况如下 x 1 1 x 1 x 12 xx 2 x 2 x fx 0 0 f x 1 f x 2 f x 所以 f x的单调增区间是 1 0 1 a 单调减区间是 0 1 和 1 1 a 6 分 当1 a时 xf的单调减区间是 1 7 分 当1a 时 2 10 x f x与 fx 的情况如下 x 2 1 x 2 x 21 xx 1 x 1 x fx 0 0 f x 2 f x 1 f x 所以 f x的单调增区间是 1 1 0 a 单调减区间是 1 1 1 a 和 0 8 分 当0 a时 xf的单调增区间是 0 单调减区间是 0 1 9 分 综上 当0a 时 xf的增区间是 0 减区间是 0 1 当10 a时 f x的增区间是 1 0 1 a 减区间是 0 1 和 1 1 a 当1 a时 xf的减区间是 1 当1a 时 f x的增区间是 1 1 0 a 减区间是 1 1 1 a 和 0 10 分 由 知 0a 时 xf在 0 上单调递增 由0 0 f 知不合题意 11 分 当10 a时 xf在 0 的最大值是 1 1 f a 由 1 1 0 0ff a 知不合题意 12 分 当1 a时 xf在 0 单调递减 可得 xf在 0 上的最大值是0 0 f 符合题意 所以 xf在 0 上的最大值是0时 a的取值范围是 1 14 分 湖北省黄冈市黄州区一中 2012 届高三 10 月综合理 本小题满分 12 分 某分公司经销某 种品牌产品 每件产品的成本为 3 元 并且每件产品需向总公司交 a 元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为 x 元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润 L 万元 与每件产品的售价 x 的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润 L 最大 并求出 L 的最大值 Q a 本小题考查函数 导数及其应用等知识 考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力 答案 解 分公司一年的利润L 万元 与售价x的函数关系式为 2 3 12 911 Lxaxx 2 12 2 3 12 L xxxax 12 1823 xax 令0L 得 2 6 3 xa 或12x 不合题意 舍去 35a 228 86 33 a 在 2 6 3 xa 两侧 L 的值由正变负 所以 1 当 2 869 3 a 即 9 3 2 a 时 2 max 9 93 129 9 6 LLaa 2 当 228 96 33 a 即 9 5 2 a 时 2 3 max 2221 6 631264 3 3333 LLaaaaa 所以 3 9 9 6 3 2 19 4 35 32 aa Q a aa 答 若 9 3 2 a 则当每件售价为 9 元时 分公司一年的利润L最大 最大值 9 6 Q aa 万元 若 9 5 2 a 则当每件售价为 2 6 3 a 元时 分公司一年的利 润L最大 最大值 3 1 4 3 3 Q aa 万元 浙江省宁波四中 2012 届高三上学期第三次月考理 本题满分 16 分 已知函数 0 ln 1 ax ax x xf 1 若函数 xf在 1 上为增函数 求实数a的取值范围 2 当1 a时 求 xf在 2 2 1 上的最大值和最小值 3 当1 a时 求证对任意大于 1 的正整数n n n 1 4 1 3 1 2 1 ln 恒成立 答案 解 1 由已知得 0 1 2 x ax ax xf 依题意得0 1 2 ax ax 对任意 1 x恒成立 即 x aax 1 01 对任意 1 x恒成立 而1 1 max x 1 a 2 当1 a时 2 1 x x xf 令0 xf 得1 x 若 1 2 1 x时 0 xf 若 2 1 x时 0 xf 故1 x是函数在区间 2 2 1 上的唯一的极小值 也是最小值 即 0 1 min fxf 而2ln 2 1 2 2ln1 2 1 ff 由于0 2 16lnln 2ln2 2 3 2 2 1 3 e ff 则2ln1 2 1 max fxf 3 当1 a时 由 1 知x x x xfln 1 在 1 上为增函数 当 1Nnn 令 1 n n x 则1 x 所以0 1 fxf 即 nn n n n nn n n n n n n n f 1 1 ln0 1 ln 1 1 ln 1 1 1 1 所以 nn n1 1 ln 3 1 2 3 ln 2 1 1 2 ln 各式相加得 n n n n n n1 3 1 2 1 ln 12 3 1 2 ln 1 ln 2 3 ln 1 2 ln 黑龙江省绥棱一中黑龙江省绥棱一中 2012 届高三理科期末届高三理科期末 已知 2 1 2 2 f xaxx lng xx 1 求函数的单调区间 2yxg xx 2 如果在上是增函数 求的取值范围 yf x 1 a 3 是否存在 使方程在区间内有且只有两个不相等的0a 21 g x fxa x 1 e e 实数根 若存在求出的取值范围 不存在说明理由 a 答案 解 1 定义域 x x 0 xxxy2ln 1ln21ln xxyexy 0 单调增区间为 e 2 在上恒成立xaxxf2 2 1 2 02 axf x 1 x a 2 设 x u 2 1 x0 max u 0 a 3 xaaxxx 12 2 ln 设xxaaxxhln 21 2 x xax h x 1 12 0 a0 2 1 a e e 1 1 0 1 0 0 1 h eh e h 12 1 2 e ee a 广东省执信中学广东省执信中学 20122012 学年度第一学期期末学年度第一学期期末 已知函数 a f xxa x R lng xx 1 求函数 F xf xg x 的单调区间 2 若关于x的方程 2 g x xf xe x e为自然对数的底数 只有一个实数根 求a的 值 答案 解 函数 ln a F xf xg xxx x 的定义域为 0 2 1 1 a Fx xx 2 2 xxa x 当140a 即 1 4 a 时 得 2 0 xxa 则 0Fx 函数 F x在 0 上单调递增 2 分 当140a 即 1 4 a 时 令 0 Fx 得 2 0 xxa 解得 12 114114 0 22 aa xx 1 e e 1 a2 1 若 1 0 4 a 则 2 114 0 2 a x 0 x 0Fx 函数 F x在 0 上单调递增 4 分 若0a 则 114 0 2 a x 时 0Fx 114 2 a x 时 0Fx 函数 F x在区间 114 0 2 a 上单调递减 在区间 114 2 a 上单调递增 6 分 综上所述 当0a 时 函数 F x的单调递增区间为 0 当0a 时 函数 F x的单调递减区间为 114 0 2 a 单调递增区间为 114 2 a 8 分 2 解 令 ln x h x x 则 2 1 ln x h x x 令 0hx 得xe 当0 xe 时 0hx 当xe 时 0hx 函数 h x在区间 0 e上单调递增 在区间 e 上单调递减 当xe 时 函数 h x取得最大值 其值为 1 h e e 10 分 而函数 2 22 2m xxexaxeae 当xe 时 函数 m x取得最小值 其值为 2 m eae 12 分 当 2 1 ae e 即 2 1 ae e 时 方程 2 2 g x f xe x 只有一个根 14 分 甘肃省天水一中甘肃省天水一中 2011 20122011 2012 学年度第一学期高三第四阶段考学年度第一学期高三第四阶段考 已知函数xkxxfln x 0 常数k 0 试确定函数 xf的单调区间 若对于任意1 x xf 0 恒成立 试确定实数k的取值范围 设函数 xF xf 1 x f 求证 2 1 FF 2 nF nn n 1 2 Nn 0 n 答案 解 xf的单调递增区间是 k 单调递减区间是 0 k 4 分 若k 1 函数 xf在 1递增 故只要 1 f 1 0 即可 若k 1 函数 xf在 k 1 递减 在 k递增 故只要 1 0ln ekkkkkf 即故实数k的取值 范围是 e 0 8 分 证明 xF xf 1 x f x x 1 2 1 FF 2 nF 2 1 2 1 1 1 n n 2 1 2 因为 tn tn t t 2 1 2 1 1 1 12 ttn tn t t tn 2 1 1 2 2 1 1 tnt 12 ttn 22 12 2222 2 ntntnttnt 12 分 1 2 1 0 nt 故采用倒序相乘法得证 14 分 西安市第一中学西安市第一中学 20122012 学年度第一学期期中学年度第一学期期中 已知函数对一切实数 xf 成立 且 1 求的值 2 求 12 yxxyfyxfyx均有 0 1 f 0 f 的解析式 3 若函数在区间 1 2 上是减 xf 1 1 xxfaxfxxg 函数 求实数 a 的取值范围 答案 解 1 令 22 0 0 1 2 0 1 0 1 ffffyx 分 2 令 4 分2 1 0 0 2 xxxxfxfy 3 1 1 xxfaxfxxg 上恒成立在即 上恒成立在上是减函数即在 2 1 0 21 2 23 2 1 0 2 1 21 2 23 2 21 2 222 2 1 1 2 1 2 2 23 2223 22 axax xgxg axaxxg xaxax axaxxxxxx xxxaxxx 令 13 分 6 19 0214812 021423 0 2 0 1 a aa aa g g 西安市第一中学西安市第一中学 20122012 学年度第一学期期中学年度第一学期期中 已知函数 ln 1 a f xxa x R 当时 如果函数仅有一个零点 求实数的取值范围 9 2 a g xf xk k 当时 试比较与 1 的大小 2a f x 求证 1111 ln1 35721 n n n N 答案 解 当时 定义域是 2 9 a 1 2 9 ln x xxf 0 22 1 2 2 12 1 2 91 xx xx xx xf 令 得 或 2 分0 x f2 1 x 2 x 当或时 当时 2 1 0 x 2 x 0 x f 2 2 1 x 0 x f 函数 上单调递增 在上单调递减 4 分 1 0 2 f x 在 2 1 2 2 的极大值是 极小值是 xf 2ln3 2 1 f2ln 2 3 2 f 当时 当时 0 x xf x xf 当仅有一个零点时 的取值范围是或 5 分 xgk2ln3 k2ln 2 3 k 当时 定义域为 2 a 1 2 ln x xxf 0 令 1 1 2 ln1 x xxfxh 0 1 1 1 21 2 2 2 xx x xx xh 在上是增函数 7 分 xh 0 当时 即 1 x0 1 hxh1 xf 当时 即 10 x0 1 hxh1 xf 当时 即 9 分1 x0 1 hxh1 xf 法一 根据 2 的结论 当时 即 1 x1 1 2 ln x x 1 1 ln x x x 令 则有 k k x 1 12 11 ln kk k 12 分 n k n k kk k 11 12 11 ln n k k k n 1 1 ln 1ln 14 分 12 1 5 1 3 1 1ln n n 法二 当时 1n ln 1 ln2n 即时命题成立 10 分3ln2ln81 1 ln2 3 1n 设当时 命题成立 即 nk 111 ln 1 3521 k k 时 1nk 2 ln 1 ln 2 ln 1 ln 1 k nkk k 1112 ln 35211 k kk 根据 的结论 当时 1 x1 1 2 ln x x 即 1 1 ln x x x 令 则有 2 1 k x k 21 ln 123 k kk 则有 1111 ln 2 352123 k kk 即时命题也成立 13 分1nk 因此 由数学归纳法可知不等式成立 14 分 福建省南安一中福建省南安一中 20122012 届高三上期末届高三上期末 已知函数 2 ln20 f xaxa x 若曲线 yf x 在点 1 1 Pf处的切线与直线2yx 垂直 求函数 yf x 的单调区间 若对于 0 x 恒成立 试求a的取值范围 2 1 f xa 记 g xf xxbb R 当1a 时 函数 g x在区间 1 ee 上有两个 零点 求实数b的取值范围 答案 解 1 直线2yx 的斜率为 1 函数 f x的定义域为 0 因为 2 2 a fx xx 所以 2 2 1 1 11 a f 所以1a 所以 2 ln2f xx x 2 2 x fx x 由 0fx 解得2x 由 0fx 解得02x 所以 f x的单调增区间是 2 单调减区间是 0 2 5 分 2 22 22 aax fx xxx 由 0fx 解得 2 x a 由 0fx 解得 2 0 x a 所以 f x在区间 2 a 上单调递增 在区间 2 0 a 上单调递减 所以当 2 x a 时 函数 f x取得最小值 min 2 yf a 因为对于 0 x 都有 2 1 f xa 成立 所以 2 2 1 fa a 即可 则 22 ln22 1 2 aa a a 由 2 lnaa a 解得 2 0a e 所以a的取值范围是 2 0 e 9 分 3 依题得 2 ln2g xxxb x 则 2 2 2 xx g x x 由 0g x 解得1x 由 0g x 解得01x 所以函数 g x在区间 0 1 为减函数 在区间 1 为增函数 又因为函数 g x在区间 1 ee 上有两个零点 所以 1 0 0 1 0 g e g e g 解得 2 11be e 所以b的取值范围是 2 1 1 e e 14 分 北京市朝阳区北京市朝阳区 20122012 届高三上学期期末考试届高三上学期期末考试 已知函数 1 ln 1 1 x f xax x 0 x a为正实数 若1a 求曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线方程 求函数 f x的单调区间 若函数 f x的最小值为1 求a的取值范围 答案 解 当1a 时 1 ln 1 1 x f xx x 则 2 12 1 1 fx xx 2 分 所以 1 0 f 又 1 ln2f 因此所求的切线方程为ln2y 4 分 2 22 22 1 1 1 1 aaxa fx axxaxx 5 分 1 当20a 即2a 时 因为0 x 所以 0fx 所以函数 f x在 0 上单调递增 6 分 2 当20a 即02a 时 令 0fx 则 2 20axa 0 x 所以 2a x a 因此 当 2 0 a x a 时 0fx 当 2 a x a 时 0fx 所以函数 f x的单调递增区间为 2 a a 函数 f x的单调递减区间为 2 0 a a 10 分 当2a 时 函数 f x在 0 上单调递增 则 f x的最小值为 0 1f 满足题意 11 分 当02a 时 由 知函数 f x的单调递增区间为 2 a a 函数 f x的单调递减区间为 2 0 a a 则 f x的最小值为 2 a f a 而 0 1f 不合题意 所以a的取值范围是 2 13 分 四川省成都市双流中学 2012 届高三 9 月月考理 本小题满分 14 分 设函数 2 lnf xxxax 1 若在处取得极值 求的值 f x 1 2 x a 2 若在定义域内为增函数 求的取值范围 f xa 3 设 当时 2 1g xf xx 1a 求证 在其定义域内恒成立 0g x 求证 2222 222 ln2ln3ln21 2321 nnn nn 答案 解 1 1 分 2 121 2 xax fxxa xx 在处取得极值 即 2 分 f x 1 2 x 1 0 2 f 1 103 22 a a 2 在定义域为 3 分 f x 0 要在定义域内为增函数 则在上恒成立 f x 2 210 xax 0 5 分 max 1 2ax x 而 6 分 1 22 2x x 2 2a 3 当时 ln1g xxax 1a ln1g xxx 0 x 7 分 11 1 x g x xx 在处取得极大值 也是最大值 g x1x 而 在上恒成立 1 0g 0g x 0 因此 8 分ln10 xx ln1xx 9 分n n2N 22 ln1nn 2 22 ln1 1 n nn 222 222222 ln2ln3ln111 111 2323 n nn 10 分 222 111 1 23 n n 12 分 111 1 2 33 41 n nn 111111 1 23341 n nn 14 分 11 1 21 n n 2 21 21 nn n 陕西省长安一中 2012 届高三开学第一次考试理 12 分 设 其 2 1 ax e xf x 中 0 a 1 当时 求的极值点 3 4 a xf 2 若为 R 上的单调函数 求的取值范围 xfa 答案 对求导得 xf 22 2 1 21 ax axax exf x 1 当时 若 则 解得 3 4 a0 x f0384 2 xx 2 1 2 3 21 xx 结合 可知 x 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 x f 0 0 xf 极大值 极小值 所以 是极小值点 是极大值点 6 分 2 3 1 x 2 1 2 x 2 若为 R 上的单调函数 则在 R 上不变号 结合 与条件 a 0 知 xf x f 在 R 上恒成立 因此 012 2 axax0 1 444 2 aaaa 由此并结合 a 0 知 12 分10 a 山东省临清三中 2012 届高三上学期学分认定理 已知R R 函数a R R e 为自然对数的底数 2 e x f xxax x 当时 求函数的单调递减区间 2a f x 若函数内单调递减 求 a 的取值范围 1 1 f x 在 函数是否为 R R 上的单调函数 若是 求出 a 的取值范围 若不是 请说明 f x 理由 答案 解 当时 2a 2 1 2 ef xxx 1 分 2 1 2 efxx 令 2 分 fx 2 0 20 22xx 得 函数的单调递减区间是2 2 注 写成也对 3 分2 2 2 e x f xxax 2 2 e e xx fxxaxax 4 分 2 2 e x xaxa 上单调递减 f x要使在 1 1 则 对 都成立 0fx 1 1 x 对都成立 5 分 2 2 0 xaxa 1 1 x 令 则 2 2 g xxaxa 7 分 1 0 1 0 g g 1 2 0 1 2 0 aa aa 注 不带等号扣 1 分 8 分 3 2 a 若函数在 R R 上单调递减 则 对R R 都成立 f x 0fx x 即 对R R 都成立 9 分 2 2 e0 x xaxa x 对R R 都成立 2 e0 2 0 x xaxa x 令 2 2 g xxaxa 图象开口向上 不可能对R R 都成立 x 若函数在 R R 上单调递减 则 对R R 都成立 f x 0fx x 即 对R R 都成立 2 2 e0 x xaxa x 对R R 都成立 e0 x 2 2 0 xaxa x 22 2 440aaa 故函数不可能在 R R 上单调递增 f x 综上可知 函数不可能是 R R 上的单调函数 12 分 f x 山东省冠县武训高中 2012 届高三二次质检理 本小题满分 12 分 某商场销售某种商品 的经验表明 该商品每日的销售量 y 单位一 千克 与销售价格 x 单位 元 千克 满足 关系式其中 a 为常数 已知销售价格为 5 元 千克时 每日可售 2 a y10 x6 x3 3x6 出该商品 11 千克 1 求 a 的值 2 若该商品的成本为 3 元 千克 试确定销售价格 x 的值 使商场每日销售该商品所获得 的利润最大 答案 解 1 因为 x 5 时 y 11 所以 a 1011 a2 2 2 由 1 可知 该商品每日的销售量 2 2 y10 x6 x3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 22 2 f x x3 10 x6 2 10 x3 x6 3x6 x3 从而 2 f x 10 x6 2 x3 x6 30 x4 x6 于是 当 x 变化时 的变化情况如下表 f x f x X 3 4 4 4 6 f x 0 f x 单调递增极大值 42单调递减 由上