高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第47讲 线面垂直与面面垂直课件.ppt

第47讲线面垂直与面面垂直 考试要求1 空间中线面垂直 面面垂直的判定定理和性质定理 b级要求 2 运用线面垂直 面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 b级要求 1 教材改编 下列命题中正确的是 填序号 如果平面 平面 且直线l 平面 则直线l 平面 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 诊断自测 解析根据面面垂直的性质 知 不正确 直线l可能平行平面 也可能在平面 内 正确 答案 2 设平面 与平面 相交于直线m 直线a在平面 内 直线b在平面 内 且b m 则 是 a b 的 条件 解析若 因为 m b b m 所以根据两个平面垂直的性质定理可得b 又a 所以a b 反过来 当a m时 因为b m 且a m共面 一定有b a 但不能保证b 所以不能推出 答案充分不必要 3 2018 宿迁质检 对于四面体abcd 给出下列四个命题 若ab ac bd cd 则bc ad 若ab cd ac bd 则bc ad 若ab ac bd cd 则bc ad 若ab cd ac bd 则bc ad 其中为真命题的是 填序号 解析 如图 取bc的中点m 连接am dm 由ab ac am bc 同理dm bc 且am dm m bc 平面amd 而ad 平面amd 故bc ad 设a在平面bcd内的射影为o 连接bo co do 由ab cd bo cd 由ac bd co bd o为 bcd的垂心 do bc ad bc 答案 4 必修2p37习题6改编 如图 平面abc 平面abd acb 90 ca cb abd是正三角形 o为ab的中点 则图中直角三角形的个数为 解析由题可知 abc aco bco oad obd ocd是直角三角形 答案6 5 必修2p47练习5改编 如图 已知直线ab 垂足为b ac是平面 的斜线 cd cd ac 则图中互相垂直的平面有 对 解析平面abc 平面abd 平面abc 平面acd 答案3 1 直线与平面垂直 1 定义如果直线l与平面 内的 直线都垂直 则直线l与平面 垂直 知识梳理 任意一条 2 判定定理与性质定理 相交 a b a b o l l b 平行 a b 2 直线和平面所成的角 1 定义平面的一条斜线与 所成的锐角 叫做这条直线与这个平面所成的角 若一条直线垂直于平面 它们所成的角是 若一条直线与平面平行或在平面内 它们所成的角是 的角 它在这个平面内的射影 直角 0 3 平面与平面垂直 1 二面角的有关概念 二面角 一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作 的射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 2 平面和平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 两个半平面 垂直于棱 直二面角 3 平面与平面垂直的判定定理与性质定理 垂线 交线 考点一直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图 在四棱锥p abcd中 pa 平面abcd ab ad ac cd abc 60 pa ab bc e是pc的中点 1 求证 cd ae 2 求证 pd 平面abe 证明 1 在四棱锥p abcd中 因为pa 底面abcd cd 平面abcd 故pa cd 因为ac cd pa ac a pa 平面pac ac 平面pac 所以cd 平面pac 而ae 平面pac 所以cd ae 2 由pa ab bc abc 60 可得ac pa 因为e是pc的中点 所以ae pc 由 1 知 ae cd 且pc cd c pc cd 平面pcd 所以ae 平面pcd 而pd 平面pcd 所以ae pd 因为pa 平面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 又因为ab ad pa ad a pa ad 平面pad 所以ab 平面pad 又pd 平面pad 所以ab pd 又因为ab ae a ab 平面abe ae 平面abe 所以pd 平面abe 规律方法在线线垂直和线面垂直的相互转化中 平面在其中起着至关重要的作用 应考虑线与线 线与面所在的平面特征 以顺利实现证明需要的转化 其中证明线面垂直的方法有 利用线面垂直的定义 利用线面垂直的判定定理 若a a b 则b 利用面面平行的性质定理 即 a a 利用面面垂直的性质定理 l a a l a 训练1 2017 苏州期末改编 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求证 a1c 平面c1bd 证明如图 连接ac 则ac bd 在正方体abcd a1b1c1d1中 aa1 平面abcd bd 平面abcd 所以aa1 bd 又因为aa1 ac a aa1 ac 平面aa1c 所以bd 平面aa1c 因为a1c 平面aa1c 所以a1c bd 同理可证a1c bc1 又因为bd bc1 b bd bc1 平面c1bd 所以a1c 平面c1bd 考点二平面与平面垂直的判定与性质 例2 1 如图 s为平面abc外一点 sa 平面abc 平面sab 平面sbc 1 求证 ab bc 2 若af sc于点f ae sb于点e 求证 平面aef 平面sac 证明 1 如图 作ae sb于点e 因为平面sab 平面sbc 平面sab 平面sbc sb ae 平面sab 所以ae 平面sbc 因为bc 平面sbc 所以ae bc 因为sa 平面abc bc 平面abc 所以sa bc 又因为ae sa a ae 平面sab sa 平面sab 所以bc 平面sab 又ab 平面sab 所以ab bc 2 由 1 可知ae 平面sbc 又sc 平面sbc 所以ae sc 又因为sc af ae af a ae 平面aef af 平面aef 所以sc 平面aef 又sc 平面sac 所以平面aef 平面sac 例2 2 如图 四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 一题多解 求证 ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 证明 1 法一取pa的中点h 连接eh dh 又e为pb的中点 所以四边形dceh是平行四边形 所以ce dh 又dh 平面pad ce 平面pad 所以ce 平面pad 法二连接cf 因为f为ab的中点 所以af cd 又af cd 所以四边形afcd为平行四边形 因此cf ad 又cf 平面pad ad 平面pad 所以cf 平面pad 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ef 平面pad pa 平面pad 所以ef 平面pad 因为cf ef f cf ef 平面cef 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又因为ab pa 所以ef ab 同理可证ab fg 又因为ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 所以ab 平面efg 又因为m n分别为pd pc的中点 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 所以mn 平面efg 又因为mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 规律方法 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 训练2 2016 江苏卷 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 d e分别为ab bc的中点 点f在侧棱b1b上 且b1d a1f a1c1 a1b1 求证 1 直线de 平面a1c1f 2 平面b1de 平面a1c1f 证明 1 由已知 de为 abc的中位线 de ac 又由三棱柱的性质可得ac a1c1 de a1c1 且de 平面a1c1f a1c1 平面a1c1f de 平面a1c1f 2 在直三棱柱abc a1b1c1中 aa1 平面a1b1c1 aa1 a1c1 又 a1b1 a1c1 且a1b1 aa1 a1 a1b1 aa1 平面abb1a1 a1c1 平面abb1a1 b1d 平面abb1a1 a1c1 b1d 又 a1f b1d 且a1f a1c1 a1 a1f a1c1 平面a1c1f b1d 平面a1c1f 又 b1d 平面b1de 平面b1de 平面a1c1f 考点三垂直关系中的探索性问题 例3 如图 在三棱台abc def中 cf 平面def ab bc 1 设平面ace 平面def a 求证 df a 2 若ef cf 2bc 试问在线段be上是否存在点g 使得平面dfg 平面cde 若存在 请确定g点的位置 若不存在 请说明理由 1 证明在三棱台abc def中 ac df ac 平面ace df 平面ace df 平面ace 又 df 平面def 平面ace 平面def a df a 证明如下 取ce的中点o 连接fo并延长交be于点g 连接gd gf cf ef gf ce 在三棱台abc def中 ab bc de ef 由cf 平面def cf de 又cf ef f de 平面cbef de gf 又gf 平面dfg 平面dfg 平面cde 此时 如平面图所示 延长cb fg交于点h o为ce的中点 ef cf 2bc 由平面几何知识易证 hoc foe 规律方法同 平行关系中的探索性问题 的规律方法一样 一般是先探求点的位置 多为线段的中点或某个三等分点 然后给出符合要求的证明 1 证明连接ab1与a1b 两线交于o点 连接om 在 b1ac中 m o分别为ac ab1中点 om b1c 又 om 平面a1bm b1c 平面a1bm b1c 平面a1bm 2 证明 侧棱aa1 底面abc bm 平面abc aa1 bm 又 m为棱ac中点 ab bc bm ac aa1 ac a bm 平面acc1a1 bm ac1 ac 2 am 1 ac1c a1ma 即 ac1c c1ac a1ma c1ac 90 a1m ac1 bm a1m m bm a1m 平面a1bm ac1 平面a1bm 证明如下 设ac1中点为d 连接dm dn d m分别为ac1 ac中点 又 n为bb1中点 dm bn 且dm bn mbnd为平行四边形 bm dn bm 平面acc1a1 dn 平面acc1a1 又 dn 平面ac1n 平面ac1n 平面aa1c1c 训练4 2018 苏州模拟 如图 边长为4的正方形abcd所在平面与正三角形pad所在平面互相垂直 m q分别为pc ad的中点 1 求证 pa 平面mbd 2 在线段ab上是否存在一点n 使得平面pcn 平面pqb 若存在 试指出点n的位置 并证明你的结论 若不存在 请说明理由 1 证明如图 连接ac交bd于点o 连接mo 由四边形abcd为正方形 知点o为ac的中点 又因为m为pc的中点 所以mo pa 因为mo 平面mbd