1411立体几何中的数量运算.doc

高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：/ansontop 邮箱：anson_专题： 立体几何中的数量运算考纲要求：内容ABC141 柱、锥、台、球及其简单组合体 142 柱、锥、台、球的表面积和体积 基本框架：空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、四面体、正四面体直观图侧面积、表面积三视图体积长对正高平齐宽相等& 基本知识点（Level A）【1】多面体有关概念（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体【2】棱柱（1）棱柱的分类： 按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱 按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，（2）棱柱的性质： 棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形 与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形【3】平行六面体（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体（2）几类特殊的平行六面体：平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体（3）性质： 平行六面体的任何一个面都可以作为底面； 平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分； 平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和； 长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和【4】棱锥的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比【5】正棱锥（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体（2）性质： 正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等 正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形【6】正多面体：（1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边【7】柱、锥、台、球的结构特征1棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质（2）掌握长方体的对角线的性质（3）平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质（4）各侧面的面积和思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5），特殊的棱柱的体积如何计算？2棱锥（1）棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）（2）相关计算：各侧面的面积和，3球的相关概念球的截面性质（重点），球面距离4正多面体掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）【8】空间几何体的三视图和直观图（1）三视图：正视图：从前往后； 侧视图：从左往右；俯视图：从上往下（2）画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等（3）直观图：斜二测画法，使，所确定的平面表示水平平面（4）斜二测画法的步骤： 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； 平行于轴的线长度变半，平行于，轴的线长度不变（5）用斜二测画法画出长方体的步骤： 画轴； 画底面； 画侧棱； 成图（6）利用斜二测画法画出直观图与实际图形面积比成关系_ 经典案例 有疑问随时mail例：已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为 答案：【9】作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行【10】棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比【11】空间几何体的表面积与体积名称表面积（也称全面积） 侧面积体积棱柱棱锥各个面面积之和圆柱（柱体）圆锥（锥体）圆台（台体）球& 拓展知识点（Level B）【1】几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质1在长方体中体对角线长为，外接球直径；棱长总和为；全(表)面积为，体积；体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则有，体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为，则有，2在正三棱锥中侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直（两对对棱垂直） 顶点在底上射影为底面垂心；斜高长相等（侧面与底面所成角相等）且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心3在正四面体中设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：全面积；体积；对棱间的距离；相邻面所成二面角；外接球半径；内切球半径；正四面体内任一点到各面距离之和为定值CBAA4在立方体中设正方体的棱长为，则体对角线长为，全面积为，体积，内切球半径为，外接球半径为，与十二条棱均相切的球半径为，则：，且S 小结：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体貌似新面孔，但其本原没变所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果5在球体中球是一种常见的简单几何体球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点球面是到球心的距离等于定长（半径）的点的集合球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长球心和截面圆的距离与球的半径及截面圆半径之间的关系是掌握球面上两点、间的距离求法：（1）计算线段的长；（2）计算球心角的弧度数；（3）用弧长公式计算劣弧的长S 注意：“经度是小小半径所成角，纬度是大小半径的夹角” & 深化知识点（Level C）【1】几个基本公式 （1）弧长公式：（是圆心角的弧度数，0）； 扇形面积公式：； （2）圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式： （3）圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式： 经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为，轴截面顶角是）：【2】欧拉定理（欧拉公式） （简单多面体的顶点数、棱数和面数)（1）各面多边形边数和的一半特别地，若每个面的边数为的多边形，则面数与棱数的关系：（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数与棱数的关系：【3】四面体的相关性质1立体几何中的四面体的类似性质对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为；个面角之和为，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为2直角四面体有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形（在直角四面体中，记、分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高）在直角四面体中，、两两垂直，令，则：（1）底面三角形为锐角三角形； （2）直角顶点在底面的射影为三角形的垂心；（3）； （4）空间勾股定理：；（5）；（6）外接球半径3等腰四面体对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体（在等腰四面体中，记，体积为，外接球半径为，内接球半径为，高为），则有等腰四面体的体积可表示为；等腰四面体的外接球半径可表示为；等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为；4球的组合体（1）球与长方体的组合体长方体的外接球的直径是长方体的体对