新（全国甲卷）高考数学大二轮总复习与增分策略 专题二 函数与导数 第4讲 导数的热点问题课件 理.ppt

第4讲导数的热点问题 专题二函数与导数 栏目索引 高考真题体验 2016 课标全国乙 已知函数f x x 2 ex a x 1 2有两个零点 1 求a的取值范围 解析答案 解f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 设a 0 则f x x 2 ex f x 只有一个零点 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 解析答案 设a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 因此f x 在 1 上单调递增 又当x 1时 f x 0 所以f x 不存在两个零点 当x ln 2a 时 f x 0 因此f x 在 1 ln 2a 上单调递减 在 ln 2a 上单调递增 又当x 1时 f x 0 所以f x 不存在两个零点 综上 a的取值范围为 0 2 设x1 x2是f x 的两个零点 证明 x1 x2 2 解不妨设x1f 2 x2 即f 2 x2 0 由于 而 所以 设g x xe2 x x 2 ex 则g x x 1 e2 x ex 所以当x 1时 g x 1时 g x 0 从而g x2 f 2 x2 0 故x1 x2 2 解析答案 考情考向分析 返回 利用导数探求函数的极值 最值是函数的基本问题 高考中常与函数零点 方程根及不等式相结合 难度较大 热点一利用导数证明不等式 热点分类突破 用导数证明不等式是导数的应用之一 可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值 以及构造函数解题的能力 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 解因为f x ln 1 x ln 1 x 又因为f 0 0 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 2x 解析答案 因为g x 0 0g 0 0 x 0 1 解析答案 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 综上可知 k的最大值为2 思维升华 思维升华 用导数证明不等式的方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 则f a f x f b 对 x1 x2 a b 且x1 x2 则f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围d内有最大值m 或最小值m 则对 x d 则f x m 或f x m 3 证明f x g x 可构造函数f x f x g x 证明f x 0 跟踪演练1已知函数f x alnx 1 a 0 令 x 0 则x 1 当01时 x 0 所以 x 在 1 上单调递增 故 x 在x 1处取到极小值也是最小值 故 x 1 0 解析答案 2 在区间 1 e 上f x x恒成立 求实数a的取值范围 故h x 在区间 1 e 上单调递增 所以h x h 1 0 因为h x 0 所以g x 0 即g x 在区间 1 e 上单调递增 所以a的取值范围为 e 1 解析答案 热点二利用导数讨论方程根的个数 方程的根 函数的零点 函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念 解决这类问题可以通过函数的单调性 极值与最值 画出函数图象的走势 通过数形结合思想直观求解 1 当m e e为自然对数的底数 时 求f x 的极小值 当x 0 e 时 f x 0 f x 在 e 上单调递增 f x 的极小值为2 解析答案 解析答案 思维升华 则 x x2 1 x 1 x 1 当x 0 1 时 x 0 x 在 0 1 上单调递增 当x 1 时 x 0 x 在 1 上单调递减 x 1是 x 的唯一极值点 且是极大值点 因此x 1也是 x 的最大值点 解析答案 思维升华 又 0 0 结合y x 的图象 如图 可知 当m 0时 函数g x 有且只有一个零点 思维升华 思维升华 1 函数y f x k的零点问题 可转化为函数y f x 和直线y k的交点问题 2 研究函数y f x 的值域 不仅要看最值 而且要观察随x值的变化y值的变化趋势 跟踪演练2已知函数f x 2lnx x2 ax a r 1 当a 2时 求f x 的图象在x 1处的切线方程 解当a 2时 f x 2lnx x2 2x 切线的斜率k f 1 2 则切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 解析答案 解析答案 解g x 2lnx x2 m 故g x 在x 1处取得极大值g 1 m 1 解析答案 热点三利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约 解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来 建立目标问题即关于这个变量的函数 然后通过研究这个函数的性质 从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优 例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 解析答案 解因为蓄水池侧面的总成本为100 2 rh 200 rh 元 底面的总成本为160 r2元 所以蓄水池的总成本为 200 rh 160 r2 元 又根据题意得200 rh 160 r2 12000 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 令v r 0 解得r1 5 r2 5 因为r2 5不在定义域内 舍去 当r 0 5 时 v r 0 故v r 在 0 5 上为增函数 由此可知 v r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 解析答案 思维升华 思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 作答 回归实际问题作答 1 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 所以 当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油17 5升 解析答案 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解析答案 返回 设耗油量为h x 升 令h x 0得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 解析答案 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 因为h x 在 0 120 上只有一个极值 所以它是最小值 故当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 返回 押题依据 高考押题精练 1 当a 0时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 的单调区间 押题依据有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义 导数与函数的单调性 导数与不等式等基础知识和基本方法 考查分类整合思想 转化与化归思想等数学思想方法 本题的命制正是根据这个要求进行的 全面考查了考生综合求解问题的能力 返回 解析答案 解析答案 当2a 1 1 即a 0时 函数f x 在 0 上单调递增 当2a 1 1 即a 0时 函数f x 在 1 2a 1 上单调递减 在 0 1 2a 1 上单调递增 解析答案 即函数g x 在 1 2 上为增函数 解析答案 即x3 2a 2 x2 2a