平行四边形的性质及判定 典型例题

平行四边形的性质及判定平行四边形的性质及判定 典型例题 典型例题 1 平行四边形及其性质 例 1 如图 O 是ABCD 对角线的交点 OBC 的周长为 59 BD 38 AC 24 则 AD 若 OBC 与 OAB 的周长之 差为 15 则 AB ABCD 的周长 分析 AC 可得 BC 再由平行四边形对边相等知 AD BC 由平行 四边形的对角线互相平分 可知 OBC 与 OAB 的周长之差就为 BC 与 AB 之差 可得 AB 进而可得ABCD 的周长 对角线互相平分 OBC 的周长 OB OC EC 19 12 BC 59 BC 28 ABCD 中 BC AD 平行四边形对边相等 AD 28 OBC 的周长 OAB 的周长 OB OC BC OB OA AB BC AB 15 AB 13 ABCD 的周长 AB BC CD AD 2 AB BC 2 13 28 82 说明 本题条件中的 OBC 占 OAB 的周长之差为 15 用 符号语言表示出来后 便容易发现其实质 即 BC 与 AB 之差是 15 例 2 判断题 1 两条对边平行的四边形叫做平行四边形 2 平行四边形的两角相等 3 平行四边形的两条对角线相等 4 平行四边形的两条对角线互相平分 5 两条平行线中 一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫 做两条平行线的距离 6 平行四边形的邻角互补 分析 根据平行四边形的定义和性质判断 解 1 错 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 是两组对边 而 不是两条对边 如图四边形 ABCD 两条对边 AD BC 显然四边 形 ABCD 不是平行四边形 2 错 平行四边形的性定理 1 平行四边形的对角相等 对角是指四 边形中设有公共边的两个角 也就是相对的两个角 3 错 平行四边形的性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 一 般地不相等 矩形的两条对角线相等 4 对 根据平行四边形的性质定理 3 可判断是正确的 5 错 线段图形 而距离是指线段的长度 是正值正确的说法是 两 条平行线中 一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做 这两条平行线的距离 6 对 由定义知道 平行四边形的对边平行 根据平行线的性质可 知 平行四边形的邻角互补 例 3 如图 1 在ABCD 中 E F 是 AC 上的两点 且 AE CF 求证 ED BF 分析 欲址 DE BF 只需 DEC AFB 转证 ABF CDF 因ABCD 则有 ABCD 从而有 BAC CDA 再由 AF CF 得 AF CE 满足了三角形全等的条件 证明 AE CF AE EF CF EF AF CE 在ABCD 中 AB CD 平行四边形的对边平行 BAC DCA 两直线平行内错角相等 AB CD 平行四边形的对边也相等 ABF CDE SAS AFB DCE ED BF 内错角相等两直线平行 说明 解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处 理 例 4 如图已知在 ABC 中 DE BC FG 若 BD AF 求证 DE FG BC 分析 1 要证 DE FG DC 由于它们是平行线 由平行四边形 定义和性质 考虑将 DE 平移列 BC 上为此 过 E 或 D 作 EH AB 或 DM AC 得到 DE BH 只需证 HC FG 因 AF BD EH CEH A AGF C 所以 AFG EHC 此 方法称为截长法 分析 2 过 C 点作 CK AB 交 DE 的延长线于 K 只需证 FG EK 转证 AFG CKE 证法 1 过 E 作 EH AB 交于 H DE BC 四边形 DBHE 是平行四边形 平行四边形定义 DB EH DE BH 平行四边形对边也相等 又 BD AF AF EH BC FG AGF C 两直线平行同位角相等 同理 A CEH AFG EHC AAS FG HC BC BH HC DE FG 即 CE FG BD 证法 2 过 C 作 CK AB 交 DE 的延长线于 K DE BC 四边形 DBCK 是平行四边形 平行四边形定义 CK BD DK BC 平行四边形对边相等 又 BD AF AF CK CK AB A ECK 两直线平行内错角相等 BC FG AGF AED 两直线平行同位角相等 又 CEK AED 对顶角相等 AGF CEK AFG CKE AAS FG EK DE EK BC DE FG BC 例 5 如图ABCD 中 ABC 3 A 点 E 在 CD 上 CE 1 EF CD 交 CB 延长线于 F 若 AD 1 求 BF 的长 分析 根据平行四边形对角相等 邻角互补 可得 C F 45 进而由勾股定理求出 CF 再根据平行四边形对边相 等 得 BF 的长 解 在ABCD 中 AD BC A ABC 180 两直线平行同旁内角互补 ABC 3 A A 45 ABC 135 C A 45 平行四边形的对角相等 EF CD F 45 直角三角形两锐角互余 EF CE 1 AD BC 1 例 6 如图 1 ABCD 中 对角线 AC 长为 10cm CAB 30 AB 长为 6cm 求ABCD 的面积 解 过点 C 作 CH AB 交 AB 的延长线于点 H 图 2 CAB 30 SABCD AB CH 6 5 30 cm2 答 ABCD 的面积为 30cm2 说明 由于 底 高 题设中已知 AB 的长 须求出与底 AB 相应的高 由于本题条件的制约 不便于求出过点 D 的高 故 选择过点 C 作高 例 7 如图 E F 分别在ABCD 的边 CD BC 上 且 EF BD 求证 S ACE S ABF 分析 运用平行四形的性质 利用三角形全等 将其转化为 等底同高的三角形 证明 将 EF 向两边延长分别交 AD AB 的延长线于 G H ABCD DE AB DEG BHF 两直线平行同位角相等 GDE DAB 同上 AD BC DAB FBH 同上 GDE FBH DE BH DB EH 四边形 BHED 是平行四边形 DE BH 平行四边形对边相等 GDE FBH ASA S GDE S FBH 全等三角形面积相等 GE FH 全等三角形对应边相等 S ACE S AFH 等底同高的三角形面积相等 S ADE S ABF 说明 平行四边形的面积等于它的底和高的积 即 S a ha a 可以是平行四边形的任何一边 h 必须是 a 边与其 对边的距离 即对应的高 为了区别 可以把高记成 ha 表明它 所对应的底是 a 例 8 如图 在ABCD 中 BE 平分 B 交 CD 于点 E DF 平分 D 交 AB 于点 F 求证 BF DE 证明 四边形 ABCD 是平行四边形 DE FB ABC ADC 平行四边形的对边也平行对角相 等 1 3 两直线平行内错角相等 1 2 2 3 DF BE 同位角相等两条直线平行 四边形 BEDF 为平行四边形 平行四边形定义 BF DE 平行四边形的对边相等 说明 此例也可通过 ADF CBE 来证明 但不如上面的 方法简捷 例 9 如图 CD 的 Rt ABC 斜边 AB 上的高 AE 平分 BAC 交 CD 于 E EF AB 交 BC 于点 F 求证 CE BF 分析 作 EG BC 交 AB 于 G 易得 EG BF 再由基本图 可得 EG EC 从而得出结论 证明 过 E 点作 EG BC 交 AB 于 G 点 EGA B EF AB EG BF CD 为 Rt ABC 斜边 AB 上的高 BAC B 90 BAC ACD 90 B ACD ACD EGA AE 平分 BAC 1 2 又 AE AE AGE ACE AAS CE EG CE BF 说明 1 在上述证法中 平移 起着把条件集中的作用 2 本题也可 以设法平移 AE 连 F 点作 FG AE 交 AB 于 G 例 10 如图 已知ABCD 的周长为 32cm AB BC 5 3 AE BC 于 E AF DC 于 F EAF 2 C 求 AE 和 AF 的长 分析 从化简条件开始 由ABCD 的周长及两邻边的比 不难得到平行四边形的 边长 EAF 2 C 告诉我们什么 这样 立即可以看出 ADF AEB 都是有一个锐角为 30 的 直角三角形 再由勾股定理求出 解 ABCD 的周长为 32cm 即 AB BC CD DA 32 AB CD BC DA 平行四边形的对边相等 又 AB BC 5 3 EAF AFC C CEA 360 四边形内角和等于 360 AE BC AEC 90 AF DC AFC 90 EAF C 180 EAF 2 C C 60 AB CD 平行四边形的对边平行 ABE C 60 两直线平行同位角相等 同理 ADF 60 说明 化简条件 化简结论 总之 题目中哪一部分最复杂 就从化简那一部分开始 这是一种常用的解题策略 我们把这种解 题策略称为 从最复杂的地方开始 它虽简单 却很有效 2 平行四边形的判定 例 1 填空题 1 如图 1 四边形 ABCD 与四边形 BEFC 都是平行四边形 则四边形 AEFD 是 理由是 2 如图 2 D E 分别在 ABC 的边 AB AC 上 DE EF AE EC DE BC 则四边形 ADCF 是 理由是 四 边形 BCFD 是 理由是 分析 判定一个四边形是平行四边形的方法较多 要从已知 条件出发 具体问题具体分析 1 根据平行四边形的性质可得 AD 平行且等于 BC BC 平行且等于 EF 从而得 AD 平行且等于 EF 由判定定理 4 可得 2 由 AE EC DE EF 由判定定理 3 可得四边形 ADCF 是平行四边形 从而得 AD CF 即 BD CF 再由条件 可得四边形 BCFD 是平行四边形 解 1 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形 2 平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行 四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 说明 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平 行四边形 既是平行四边形的一个性质 又是平行四边形的一个判 定方法 例 2 如图 四边形 ABCD 中 AB CD ADB CBD 90 求证 四边形 ABCD 是平行四边 形 分析 判定一个四边形是平行四边形 有三类五个判定方法 这三类也是按边 角和对角线分类 具体的五个方法如下表 因此必须根据已知条件与图形结构特点 选择判定方法 证法一 AB CD ADB CBD 90 BD DB Rt ABD Rt CDB ABD CDB A C ABD CBD CDB ADB 即 ABC CDA 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是 平行四边形 证法二 ADB CBD 90 AB CD BD DB Rt ABD Rt CDB ABD CDB AB CD 内错角相等两直线平行 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形 证法三 由证法一知 Rt ABD Rt CDB DA BC 又 AB CD 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是 平行四边形 说明 证明一个四边形是平行四边形 往往有多种证题思路 我们必须注意分析 通过比较 选择最简捷的证题思路 本题三种 证法中 证法二与证法三比较简捷 本题还可用定义来证明 例 3 如图 ABCD 中 E G F H 分别是四条边上的点 且 AE CF BG DH 求证 EF 与 GH 互相平分 分析 只须证明 EGFH 为平行四边形 证明 连结 EG GF FH HE 四边形 ABCD 是平行四边形 A C AD CB BG DH AH CG 又 AE CF AEH CFG SAS HE GF 同理可得 EG FH 四边形 EGFH 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是 平行四边形 EF 与 GH 互相平分 平行四边形的对角线互相平分 说明 平行四边形的性质 判定的综合运用是解决有关线段和 角问题基本方法 例 4 如图 ABCD 中 AE BD 于 E CF BD 于 F 求证 四边形 AECF 是平行四边形 分析 由平行四边形的性质 可得 ABE CDF AE CF 进而可得四边形 AECF 是平行四边形 证明 ABCD 中 ABCD 平行四边形的对边平行 对边相等 ABD CDB 两直线平行内错角相等 AE BD CF BD AE CF AEB CFD 90 ABE CDF AAS AE CF 四边形 AECF 是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形 说明 平行四边形的定义 既是平行四边形的一个性质 又是 平行四边形的一个判定方法 例 5 如图 ABCD 中 E F 分别在 AD BC 上 且 AE CF AF BE 相交于 G CE DF 相交于 H 求证 EF 与 GH 互相平分 分析 欲证 EF 与 GH 互相平分 只需四边形 EGFH 为平行 四边形 利用已知条件可知四边形 AFCE 四边形 EBFD 都为平行 四边形 所以可得 AF EC BE DF 从而四边形 GEHF 为平行 四边形 证明 ABCD 中 ADBC 平行四边形对边平行且相等 AE CF DE BF 四边形 AFCE 四边形 BFDE 是平行四边形 一组对边平行且 相等的四边形是平形四边形 AF CE BE DF 平行四边形对边平行 四边形 EGFH 是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是 平行四边形 GH 与 EF 互相平分 平行四边形的对角线互相平分 说明 平行四边形问题 并不都是以求证某一个四边形为平行 四边形的形式出现的 往往更多的是求证线段的相等 角的相等 直线的平行 线段的互相平分等等 要灵活地根据题中已知条件 以及定义 定理等 先判定某一四边形为平行四边形 然后再应用 平行四边形的性质加以证明 例 6 如图 已知ABCD 中 EF 在 BD 上 且 BE DF 点 G H 在 AD CB 上 且有 AG CH GH 与 BD 交于点 O 求证 EGHF 分析 证 EF GH 互相平分GEHF 为平行四边形 证明 连 BG DH GF EH ABCD 为平行四边形 ADBC 又 AG HC DGBH 四边形 BGDH 为平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 HO GO DO BO 平行四边形的对角线互相平分 又 BE DF OE OF 四边形 GEHF 为平行四边形 对角线互相平分的四边形是平 行四边形 EGHF 平行四边形的对边平行相等 说明 由于条件 BE DF 涉及到对角线 BD 所以考虑用对角 线互相平分来证明 例 7 如图 ABCD 中 AE BD 于 E CF BD 于 F G H 分别为 AD BC 的中点 求证 EF 和 GH 互相平分 分析 连结 EH HF FG GE 只须证明 EHFG 为平行四 边形 证法一 连结 EH HF FG GE AE BD G 是 AD 中点 GED GDE 同理可得 四边形 ABCD 是平行四边形 ADBC GDE HBF GE HF GED HFB GE HF 四边形 GEHF 为平行四边形 一组对边平行且相等的四