平面向量的坐标表示.doc

第7章 平面向量的坐标表示 1.理解向量的有关概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量，与同向且长度为1的向量叫的单位向量, 的单位向量是；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：，规定零向量和任何向量平行；提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量是长度相等方向相反的向量.2.向量的表示方法（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，零向量，注意：.4平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则AOB (0180) 叫做向量与的夹角当0时，与 同向；当180时，与反向；如果与的夹角是90，我们说与垂直，记作（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即规定零向量与任一向量的数量积为0若，则（3）向量的数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是，数量等于模与在上的投影的积（4）向量数量积的性质：设与都是非零向量，是单位向量，是与的夹角 当与同向时，；当与反向时，-,; |（5）向量数量积的运算律：【提醒】（1）若则为锐角或者角若则为钝角或者角.（2）|可以用来证明.（3）非零向量，夹角的计算公式：.(4)|. ； 5. 平面向量的基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使=，、称为一组基底.6向量的运算：（1）几何运算：提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，那么由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得出：（2）坐标运算：设，则： 向量的加减法运算：； 实数与向量的积：； 若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标； 平面向量数量积：=； 向量的模：；7向量的运算律：（1）交换律：，=；( 2 ) 结合律：，；（3）分配律：，.8. 向量平行(共线)的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是；实数是唯一存在的，当与同向时，；当与异向时，； (2) 若,，则9向量垂直的充要条件：=向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线 (这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为.为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；是的外心； （4）向量中三终点共线存在实数使得且.7.1 向量的坐标表示及其运算 例题精讲 【例1】已知分别是和的重心，是的中点，若A,B,C,D的坐标分别是，求点的坐标【例2】已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由过关演练 1已知，若，则的值分别为_2已知向量，若，则_3已知平行四边形的顶点、，则顶点的坐标为_4若向量，则向量的坐标是_5若，且，则等于_6若为的重心，则下列各向量中与共线的是（）A B C D7在矩形中，则向量的长度等于（）A BCD 8在中，、分别为边、的中点，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，则点坐标为_ 9已知，当与共线时，的值为_10当_时，向量与共线且方向相同；当_时，与共线且方向相反 11若三点，共线，则_ 12设，用、作基底有，则_，_ 13已知点在向量所在的直线上，则所满足的条件是_ 14.已知,(1)若点在线段上,且则点的坐标是 ;(2)若点在线段的延长线上,且则点的坐标是 ;(3)若点在线段的延长线上, 则点的坐标是 ;(4)若点在线段的延长线上, , 则点的坐标是 .15下列四个命题：若，则或；若为单位向量，则；若与共线，与共线，则与共线其中错误命题的序号是_16已知、，且，则当_时，点落在轴上 17已知，是两个非零向量，则“，不共线”是“”的_18下列四个命题中是真命题的有_个若与是共线向量，则与也是共线向量若，则与是共线向量若，则与是共线向量若，则与任何向量都共线19.在中,设向量，则的面积= ,的周长= . 20.对个向量，如果存在不全为零的实数使得，则称性相关.若已知，是线性相关的，则=_.21. 在四边形中，则四边形的面积是_.7.2向量的数量积例题精讲 【例1】设O是直角坐标原点，在轴上求一点P，使最小，并求此时的大小.【例2】已知，且的夹角为，又，求.注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解【例3】已知锐角中内角的对边分别为,向量 ,且（1）求的大小，（2）如果，求的面积的最大值.过关演练 1（1）已知，与的夹角为，则_（2）已知，则向量与的夹角为_ 2（1）已知，与的夹角为，则在方向上的投影为_（2）已知，则在上方向上的投影为_3已知，且，则的值为_ 4已知，与的夹角正弦值为，则_5已知，则_6已知，与的夹角为，要使与垂直，则_7在平行四边形中，已知，则=_ 8是所在平面上一点，若，则是的_9已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则=_10与向量的夹解相等，且模为的向量是_11在中，且，则的值为_12在中，已知，且，则这个三角形的形状是 _ 13下列四个命题：若，则；若，则或；若，且，则或；对任意两个单位向量，都有其中正确命题的序号是_14.若,则与的夹角为_15在中，O为中线上一个动点，若，则的最小值是 .16已知满足，则的形状一定是_.17.在ABC中，AB2，AC1，D是边BC上一点，DC2BD，则=_.18.如果，且，那么( )AB C D在方向上的投影相等19若、是非零向量且，则一定有（）A B C D20.已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_.21已知向量，|1，对任意tR，恒有|t|，则（ ） A B() C() D()()22已知两个单位向量和互相垂直，则的充要条件是（ ） A BC D23在中，有命题；若，则为等腰三角形；若，则为锐角三角形.上述命题正确的是（ ）A B C D24点在所在平面内，给出下列关系式：（1）；（2）；（3）；（4）则点依次为的 （ ）A内心、外心、重心、垂心 B重心、外心、内心、垂心C重心、垂心、内心、外心 D外心、内心、垂心、重心7.3平面向量的分解定理例题精讲 【例1】已知是的边上的点，且，如图1所示若用表示，则= 过关演练 1.已知等差数列的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则_.2.下列条件中，三点不共线的是（ ）ABCD3下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）AB C D 4已知向量，用和来表示，则为（）A B CD5设 M 是ABC 的重心，则=（）ABCD6 、分别为的边、上的中线，且，那么为（）AB C D7过的重心作一直线分别交、于点、若，则的值为_8. 是内的一点，则的面积与的面积之比为_.A2B3CD69.请用表示=_.10已知 .设，则等于_.11已知四边形是菱形，点在对角线上，（不包括端点、），则等于（）A，(0,1)B，(0,)C，(0,1)D，(0, )12.如图，在ABC中，设， , ,(01),(01),试用向量,表示.7.4向量的应用例题精讲 【例1】是过抛物线焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则ABO是（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关.【例2】已知向量.设.（1）若且，求的值；（2）若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，求实数的值.过关演练 1.求等腰直角三角形中两直角边上的中