高三数学复数与三角函数解题方法集锦

2007届高三数学复习 复数与三角函数解题方法集锦近几年来，特别是使用了新教材后，高考试题中的三角函数试题的难度有所降低，无论是选择题、填空题，还是解答题，都是以中低档的形式为主。考查内容主要包括三角函数的求值、三角函数的图象和性质以及解三角形等。高考对复数的考查也降低了难度，试题一般均为选择题或是填空题，主要考查复数的概念和运算，在解答题中要注重复数与三角知识的综合题。一、三角函数的求值例1 已知是第三象限角，且sin4+cos4=，那么sin2等于A.B. -C.D.- 分析：解决这类问题的关键是找到已知条件与所求式子的关系，抓住三角函数式中角、函数名称以及函数式等方面的特点，有效地进行转化。解：因为sin4+cos4=(sin2+cos2)2-2sin2cos2= 1-sin22=,所以sin22=.又是第三象限角，故4k+224k+3,所以sin2=.例2 （95年上海）已知tan()=3，求sin2-2cos2的值。分析：本题考查三角函数的基本公式及其应用，建立tan()与sin2、2cos2的关系是解题的关键。解：由tan()=3，得：tan=。所以即:.所以，sin2-2cos2=2 sin cos-2cos2=-4 sin2=-.评说：一般地，在sincos、sincos、tan中，只要已知其中的任意一个，均可求出其余的三个。二、三角函数的图象和性质例3 已知函数y=2sin(2x+)，则（1）函数y=2sin(2x+)的图象经过怎样的变换可得到函数y=sinx的图象？（2）把函数y=2sin(2x+)的图象在终坐标不变的情况下横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位，则得到函数 的图象。（3）把函数y=f(x)的图象在纵坐标不变的情况下横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位，得到函数y=2sin(2x+)的图象，则f(x)= 。分析：（1）y=2sin(2x+)y=2sin2xy=2sinxy=sinx.而2sin2x=2sin(2x-)+=2sin2（x-）+，所以横坐标变为原来的4倍向右平移个单位把函数y=2sin(2x+)的图象先向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍，最后把图象上各点的纵坐标变为原来的倍，即可得到函数y=sinx的图象。（2）y=2sin(2x+) y=2sin(x+)向左平移单位横坐标变为原来的 y=2sin(x-)+=2sin(x+).(3) y=2sin(2x+) y=2sin(2x+)y=2sin(4x+).评说：对于这类图象变换问题，解决的关键是抓住问题的本质，即无论是平移变换，还是伸缩变换，无论是加上一个常数，还是乘以一个常数，均只能影响x，而不能涉及其他量。x Oy1例4 已知函数y=2sin(x+)(|)的一部分图象如图所示，则,的值为A. =2,=.B.=2,= .C.=,= .D.= ,=.分析：显然，f(0)=1,即2sin=1, sin=,由|，得：=。又+=2，解得：=2。故选A。评说：注意到已知的点(，0)是我们“五点作图法”中的第五点，所以有：+=2，这是我们解决这类问题的关键。例5 (1997年全国)函数y=sin(-2x)+cos2x的最小正周期是A. B.C.2D.4分析：由于y=sin(-2x)+cos2x=sincos2x-cossin2x+cos2x=cos2x-sin2x+cos2x=cos2x-sin2x=cos(2x+), 其中为第一象限角，且tan=2-.所以函数y=sin(-2x)+cos2x的最小正周期是T=.评说：实际上，注意到这是一道选择题，也可以采用代入检验的方法解决例求函数y=2sin(-2x)的单调递增区间.分析：由,解得：,所以，函数y=2sin(-2x)的单调递增区间为.评说：我们可以选择两个特殊值进行检验。取x1=, x2=, 显然x1 f(x2),与单调性的定义矛盾。为什么？实际上，若设t=-2x，则y=sint, t=-2x.即函数y=2sin(-2x)是由y=sint与t=-2x复合而成的。而函数t=-2x是减函数，所以我们要求函数y=2sin(-2x)的单调递增区间，则必须找函数y=sinx的单调递减区间，即解不等式：，正确的结果为：。例7 （2000年全国）求函数y=cos2x+sinxcosx+1的最大值。解：因为y=cos2x+sinxcosx+1=（1+cos2x）+sin2x+1=sin(2x+)+，而xR,所以，当2x+=2k+,即x=k+时,ymax=。评说：若在题中加上条件：“x-，”，则结果又如何呢？例8 （1997年全国）求y=3-sin2x-3cosx函数的最小值与最大值。解：因为y=3-sin2x-3cosx=cos2x-3cos+2，设cosx=t，则y=t2-3t+2,t-1,1.当t=1时，ymin=0；当t=-1时, ymax=6。评说：三角函数的最值问题，一般有两种类型：一是可以化成y=Asin(x+)+k的形式；二是可以通过换元变成二次函数的形式。他们都是基本问题，应熟练掌握。特别要注意定义域对最值的影响。三、三角形中的问题在这类问题中，可能用到的定理有：内角和定理、正余弦定理及大边对大角等，解题时要注意角的取值范围。例9 （2000年春季）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，证明：.分析：注意所证等式的一边是关于边的式子，另一边是关于角的式子，证明的关键是边角互化。证法一：由余弦定理,有a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB,两式相减，得：a2-b2=b2-a2-2bccosA+2cacosB，即a2-b2=cacosB-bccosA.由正弦定理：,所以：=。证法二：由正弦定理：,。由余弦定理，得：所以，=。四、复数与三角函数涉及到复数的三角形式或辐角主值的有关问题一般都是复数与三角函数的综合问题。解决这类问题的关键是正确地将该问题转化为有关三角函数的问题。例10 （1999年全国）设复数z=3cos+2sin,求函数y=-argz(0)的最大值以及对应的值。分析：求角的取值范围，一般都是先求这个角的某一个三角函数的取值范围，再利用这个三角函数的单调性求出该角的取值范围。解：由00.又z=3cos+2sin，得：0 argz及tan(ar