高三数学第一轮强化训练2.9《函数与方程》新人教必修1

2.9函数与方程【考纲要求】1、结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 2、根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。【基础知识】一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数（，把使成立的实数叫做函数（的零点。函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等。 （2）函数零点的意义：函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图像与轴的交点的横坐标，即：方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点 （3）零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在使得，这个也就是方程的根。 函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有是函数在区间内至少有一个零点的一个充分不必要条件。 零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决。二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。（2）给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间，验证，给定精确度。第二步：求区间的中点。第三步：计算：若=0，则就是函数的零点；若，则令 （此时零点）若，则令（此时零点）第四步：判断是否达到精确度即若，则得到零点值或，否则重复第二至第四步。三、一元二次方程的根的分布讨论一元二次方程的根的分布一般从以下个方面考虑，列不等式组：（1）的符号 （2）对称轴的位置 （3）判别式的符号 （4）根分布的区间端点的函数值的符号四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入。五、方法总结1、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。2、函数的零点问题，多利用函数的图像和性质分析解答，多利用数形结合的思想分析解答。【例题精讲】例1 已知函数f(x)x3x2。证明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.【解析】证明：令g(x)f(x)x.g(0)，g()f()，g(0)g()0.又函数g(x)在0，上连续，所以存在x0(0，)，使g(x0)0.即f(x0)x0.例2 已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点.【解析】f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根.设2xt(t0)，则t2mt10.当0，即m240m2时，t1；m2时，t1不合题意，舍去，2x1，x0符合题意.当0，即m2或m2时，t2mt10有一正一负根，即t1t20，这与t1t20矛盾.这种情况不可能.综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点为0. 2.9函数与方程强化训练 【基础精练】1、函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有，则方程在区间上（ ）(A)至少有一个实数根 (B)至多有一个实根 (C)没有实根 (D) 必有唯一的实根2、下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ()3、函数的零点的个数是（ ） (A)3个 (B)2个 (C)1个 (D) 0个4、函数的零点所在的区间是（ ）(A) (B) (C) (D) 5、若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）(A)1.2 (B)1.3 (C)1.4 (D) 1.56、用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0，第二次应计算，这时可判断x0.7、已知函数f(x)2mx4，若在2,1上存在x0，使f(x0)0，则实数的取值范围是.8、若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是9、已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.10、已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点.【拓展提高】1、若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围。2、已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。3、设函数 （1）求函数的单调区间； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。【基础精练参考答案】4.C【解析】由题得，由零点存在性定理得选C.5.C【解析】由题得，所以由零点存在性定理得选C.6. (0,0.5)f(0.25)(0.25, 0.5)【解析】由二分法知x0(0,0.5)，取x10.25，这时f(0.25)0.25330.2510， 故x0(0.25,0.5).7. m2，或m1【解析】由题意知m0，f(x)是单调函数.又在2,1上存在x0，使f(x0)0，f(2)f(1)0，即(4m4)(2m4)0，解得m2，或m1.8. (1，)【解析】令g(x)ax(a0，且a1)，h(x)xa，分0a1，a1两种情况.在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f(x)axxa有两个不同的零点，则函数g(x)，h(x)的图象有两个不同的交点.根据画出的图象只有当a1时符合题目要求.9.【解析】证明：令g