高三数学章末综合测6平面向量、数系的扩充与复数的引入1

2013届高三数学章末综合测试题（6）平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量a，b且Aa2b，B5a6b，C7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D 解析A由题意B2a4b2，故A，B，D共线2设P是ABC所在平面内的一点，BB2，则()APP0 BPP0CPP0 DPPP0 解析B因为BB2，所以点P为线段AC的中点，故选B. 3已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么() A. B.2 C.3 D2 解析A由20可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故. 4已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|.若(ab)c，则a与c的夹角为() A. B. C. D. 解析Cab(1，2)a，所以a与c的夹角即ab与c的夹角的补角 设ab与c的夹角为，则cos ，故，则a与c的 夹角为.5 已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC45，设 (R)，则的值为() A1 B. C. D. 解析A如图，过C作CEx轴于点E，则|OE|CE|2，所 以，即，所以(2,0) (3,0)，故.故选A.6 (2011湖南十二校联考)平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足()() 0，则三角形ABC是() A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 解析B()()()()()( )()|2|20，故|，即ABC是等腰三角形7(2011杭州月考)已知定义在复数集C上的函数f(x)满足f(x)则 f(1i)() A2 B0 C2 D2i 解析C(1i)R，f(1i)(1i)(1i)1i22.8如图所示，非零向量Oa，Ob，且BCOA，C为垂足，若Oa(0)， 则() A. B. C. D. 解析ABO，即BO(OO)O0|O|2OO0， 即2|a|2ab0，解得.9(2011济南一模)设a是实数，且是实数，则a() A. B1 C1 D2 解析B因为i是实数，所以a1.10已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PPx2，则点P的轨迹是() A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析DP(2x，y)，P(3x，y)，PPx2， (2x)(3x)y2x2，化简得y2x6.11已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为() A. B. C. D. 解析B由a(1,1)，2ab(4,2)，得b(4,2)2(1,1)(2,0)设向量a，b的夹 角为，则cos ，.12 (2011宝坻质量调查)已知点A，B，C在圆x2y21上，满足20(其 中O为坐标原点)，又|，则向量在向量方向上的投影为() A1 B1 C. D 解析C由2()()0，得， 即O，B，C三点共线又|1，故向量在向量方向上的投影为 |cos.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设向量a与b的夹角为，a(3,3)，2ba(1,1)，则cos _. 解析a(3,3)，2ba(1,1)，b(1,2)， cos . 【答案】14如果复数z(bR)的实部和虚部互为相反数，则b的值等于_ 解析zi，由，得b0.【答案】015(2011宣城调研)已知i是虚数单位，复数z满足2i，则z_. 解析由题意得，ziii. 【答案】i16对于n个向量a1，a2，an，若存在n个不全为零的实数k1，k2，kn，使得k1a1k2a2knan0成立，则称向量a1，a2，an是线性相关的按此规定，能使向量a1(1,0)，a2(1，1)，a3(2,2)是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为_(只需写出一组值即可) 解析根据线性相关的定义， 得k1(1,0)k2(1，1)k3(2,2)0 令k31，则k22，k14，k1，k2，k3的一组值为4,2,1.【答案】4,2,1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分) 如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，证明： 2. 解析因为F为BC的中点，所以0， 连接AF，DF，则有 . 而， 又E为AD的中点，所以0. 所以2，所以2.18(12分)计算下列各式的值： (1)2； (2)； (3)i3. 解析(1)22i.(2)2i.(3)i3i3i3ii0.19(12分)已知ABC中，C是直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE2EB，求证：ADCE. 解析建立如图所示的直角坐标系，设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)D是BC的中点，D.又2， 即(xa，y)2(x，ay)，解得(a,0)， ，aa0. ，即ADCE.20(12分)已知点A(2,0)、B(0,2)、C(cos ，sin )，O为坐标原点，且0.(1)若|OO|，求O与O的夹角；(2)若AB，求tan 的值 解析(1)由已知可得O(2,0)，O(cos ，sin )，且|OO|，化简得cos ，0，sin ，.又O(0,2)，cosO，O.又O，O0，O，O.(2)A(cos 2，sin )，B(cos ，sin 2)，由AB，得(cos 2，sin )(cos ，sin 2)0，即(cos 2)cos sin (sin 2)0，化简得，sin cos ，sin2cos22sin cos ，即3tan28tan 30，解得tan .由得，sin cos 0且0，又|sin |cos |，tan .21(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2y212x320的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k，使得向量OO与P共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由 解析(1)圆的方程可写成(x6)2y24，所以圆心为Q(6,0)，过P(0,2)且斜率为k的直线方程为ykx2，代入圆的方程得x2(kx2)212x320，整理，得(1k2)x24(k3)x360.直线与圆交于两个不同的点A、B等价于4(k3)2436(1k2)16(8k26k)0，解得k0，即k的取值范围为.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OO(x1x2，y1y2)，由方程得，x1x2.又y1y2k(x1x2)4，而P(0,2)，Q(6,0)，P(6，2)，OO与P共线等价于2(x1x2)6(y1y2)将代入上式，解得k，又k，不存在符合题意的常数k.22(12分)已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；(2)若f(x)ab|ab|，求f(x)的最大值和最