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文档简介
2013届高三数学章末综合测试题(13)立体几何(1)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则圆台较小底面的半径为() A7 B6 C5 D3 解析A依题意,设圆台上、下底面半径分别为r、3r,则有(r3r)384,解得r7.2如图所示,在空间四边形ABCD中,点E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD上的点,且,则()AEF与GH平行BEF与GH异面CEF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上DEF与GH的交点M一定在直线AC上 解析D依题意,可得EHBD,FGBD,故EHFG,所以E、F、G、H共面因为EHBD,FGBD,故EHFG,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上同理,点M在平面ACD上,即点M是平面ACB与平面ACD的交点,而AC是这两个平面的交线,所以点M一定在AC上3已知向量a(1,1,0),b(1,0,2),且kab与2ab互相垂直,则k() A1 B C D 解析Dk abk(1,1,0)(1,0,2)(k1,k,2),2ab2(1,1,0)(1,0,2) (3,2,2),两向量垂直,3(k1)2k220,k.4已知直线m、n和平面,在下列给定的四个结论中,mn的一个必要但不充分条件是()Am,n Bm,nCm,n Dm、n与所成的角相等 解析D对于选项A,当m,n时,直线m、n可以是平行、相交或异面;而当mn时,m、n与的关系不确定,故选项A是mn的既不充分也不必要条件;选项B是mn的充分不必要条件;选项C是mn的既不充分也不必要条件;对于选项D,由mn可以得到m、n与所成的角相等,但是m、n与所成的角相等得不到mn.故选项D符合题意5已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆),根据图中标出的数据,这个几何体的体积是() A28836 B60 C28872 D28818解析A依题意得,该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体,其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6,半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8,因此该几何体的体积等于86632828836,故选A.6l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()Al1l2,l2l3l1l3Bl1l2,l2l3l1l3Cl1l2l3l1,l2,l3共面Dl1,l2,l3共点l1,l2,l3共面 解析B在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错7将一个边长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了()A6a2 B12a2C18a2D24a2 解析B依题意,小正方体的棱长为,所以27个小正方体的表面积总和为276218a2,故表面积增加量为18a26a212a2.8在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA11,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B. C. D. 解析D如图,连接A1C1,B1D1,交于点O1,由长方体的性质易知C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角BC2,CC11,BC1,又C1O1A1C1,在RtBO1C1中,sin C1BO1.9已知,是三个不同的平面,命题“,且”是真命题,如果把,中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有命题中,真命题有()A0个 B1个 C2个 D3个 解析C若,换为直线a,b,则命题化为“ab,且ab”,此命题为真命题;若,换为直线a,b,则命题化为“a,且abb”,此命题为假命题;若,换为直线a,b,则命题化为“a,且bab”,此命题为真命题10如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB10,AD5,AA14.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为V1VAEA1DFD1,V2VEBE1A1FCF1D1,V3VB1E1BC1F1C.若V1V2V3131,则截面A1EFD1的面积为() A4 B8 C20 D16 解析C由V1V3,可得AEB1E1,设AEx,则(10x)4513,得x4,则A1E4,所以截面A1EFD1的面积为20.11如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,ABC的值为() A30 B45 C60 D90解析C还原正方体,如下图所示,连接AB,BC,AC,可得ABC是正三角形,则ABC60.故选C.12连接球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4,M、N分别为AB、CD的中点,每条弦的两端都在球面上运动,有下列四个命题:弦AB、CD可能相交于点M;弦AB、CD可能相交于点N;MN的最大值为5;MN的最小值为1.其中真命题的个数是 ()A1 B2 C3 D4 解析C易求得M、N到球心O的距离分别为OM3,ON2,若两弦交于M,则ONMN,在RtONM中,有ONOM,符合题意,故正确若两弦交于N,同推得,OMON,矛盾,故错当M、O、N共线,M、N在O同侧,则MN取最小值1;M、N在O两侧,则MN取最大值5,故正确二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上)13. 如图,在正四棱柱A1C中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件_时,就有MN平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况) 解析FHDD1,HNBD,平面FHN平面B1BDD1,只要MFH,则MN平面FHN,MN平面B1BDD1.(答案不唯一)【答案】M位于线段FH上14已知、是两个不同的平面,m、n是平面及平面之外的两条不同的直线,给出四个论断:mn,m,n,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:_. 解析同垂直于一个平面的两条直线互相平行,同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行【答案】15已知命题:“若xy,yz,则xz”成立,那么字母x,y,z在空间所表示的几何图形有可能是:都是直线;都是平面;x,y是直线,z是平面;x,z是平面,y是直线上述判断中,正确的有_(请将你认为正确的序号都填上) 解析当字母x,y,z都表示直线时,命题成立;当字母x,y,z都表示平面时,命题也成立;当x,z表示平面,y表示直线时,由相关的判定定理知命题也成立;当x,y表示直线,z表示平面时,xz不一定成立,还有可能xz或x与z相交,故正确,不正确【答案】16如图,二面角l的大小是60,线段AB,Bl,AB与l所成的角为30,则AB与平面所成的角的正弦值是_ 解析如图,作AO于O,ACl于C,连接OB、OC,则OCl.设AB与所成角为,则ABO,由图得sin sin 30sin 60.【答案】三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)如图所示,矩形ABCD中,AB3,BC4,沿对角线BD把ABD折起,使点A在平面BCD上的射影E落在BC上(1)求证:平面ACD平面ABC; (2)求三棱锥ABCD的体积 解析(1)AE平面BCD,AECD.又BCCD,且AEBCE,CD平面ABC.又CD平面ACD,平面ACD平面ABC.(2)由(1)知,CD平面ABC,又AB平面ABC,CDAB.又ABAD,CDADD,AB平面ACD.VABCDVBACDSACDAB.又在ACD中,ACCD,ADBC4,ABCD3,AC.VABCD33.18(12分)如图,四边形ABCD为正方形,四边形BDEF为矩形,AB2BF,DE平面ABCD,G为EF的中点(1)求证:CF平面ADE;(2)求证:平面ABG平面CDG;(3)求二面角CFGB的余弦值 解析(1)BFDE,BCAD,BFBCB,DEADD,平面CBF平面ADE.又CF平面CBF,CF平面ADE.(2)如图,取AB的中点M,CD的中点N,连接GM、GN、MN、AC、BD,设AC、MN、BD交于O,连接GO.四边形ABCD为正方形,四边形BDEF为矩形,AB2BF,DE平面ABCD,G为EF的中点,则GO平面ABCD,GOMN,GNMG.又GNDC,ABDC,GNAB.又ABMGM,GN平面GAB.又GN平面CDG,平面ABG平面CDG.(3)由已知易得CGFG,由(2)知GOEF,CGO为二面角CFGB的平面角,cos CGO.19(12分)(2011南昌二模)如图所示的多面体ABCA1B1C1中,三角形ABC是边长为4的正三角形,AA1BB1CC1,AA1平面ABC,AA1BB12CC14.(1)若O是AB的中点,求证:OC1A1B1;(2)求平面AB1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值 解析(1)设线段A1B1的中点为E,连接OE,C1E.由AA1平面ABC得AA1AB,又BB1AA1且AA1BB1,所以AA1B1B是矩形又点O是线段AB的中点,所以OEAA1,所以OEA1B1.由AA1平面ABC得AA1AC,A1ABC.又BB1AA1CC1,所以BB1BC,CC1AC,CC1BC,且ACBC4,AA1BB14,CC12,所以A1C1B1C1,所以C1EA1B1.又C1EOEE,所以A1B1平面OC1E,因为OC1平面OC1E,所以OC1A1B1.(2)如图,以O为原点,所在方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,2,0),A1(4,2,0),B1(4,2,0),C1(2,0,2),设平面AB1C1的法向量为n1(x1,y1,z1),则有令x11,则n1(1,1,0)设平面A1B1C1的法向量为n2(x2,y2,z2),则有令z21,则n2(,0,1)所以cosn1,n2,所以平面AB1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值是.20(12分)如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DBBC,DBAC,点M是棱BB1上一点(1)求证:B1D1平面A1BD;(2)求证:MDAC;(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1平面CC1D1D. 解析(1)由直四棱柱概念,得BB1綊DD1,四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1BD.而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,B1D1平面A1BD.(2)BB1平面ABCD,AC平面ABCD,BB1AC.又BDAC,且BDBB1B,AC平面BB1D1D.而MD平面BB1D1D,MDAC.(3)当点M为棱BB1的中点时,取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示N是DC的中点,BDBC,BNDC.又DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD平面DCC1D1,BN平面DCC1D1.又可证得,O是NN1的中点,BM綊ON,即四边形BMON是平行四边形,BNOM,OM平面CC1D1D,OM平面DMC1,平面DMC1平面CC1D1D.21(12分)如图所示,在直角梯形ABCP中,BCAP,ABBC,CDAP,ADDCPD2.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将PDC折起,使平面PDC平面ABCD.(1)求证:PA平面EFG;(2)求二面角GEFD的大小 解析(1)PEEC,PFFD,EFCD.又CDAB,EFAB,EF平面PAB.同理,EG平面PAB.又EFEGE,平面PAB平面EFG,而PA在平面PAB内,PA平面EFG.(2)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),F(0,0,1),G(1,2,0),易知(2,0,0)为平面EFD的一个法向量设平面EFG的一个法向量为n(x,y,z),又(0,1,0),(1,1,1),由得即取x1,得n(1,0,1)设所求二面角为,cos ,45,即二面角GEFD的平面角的大小为45.22(12分)在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且BAD60,A1AAB,E为BB1延长线上的一点,D1E面D1AC.(1)求二面角EACD1的大小;(2)在D1E上是否存在一点P,使A1P平面EAC?若存在,求D1PPE的值;若不存在,说明理由 解析设AC与BD交于O,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,设A
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