高三数学空间几何体的三视图、表面积及体积期末测文

空间几何体的三视图、表面积及体积(40分钟)一、选择题1.(2013成都模拟)已知正四面体的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形,则这个四面体的主视图的面积为()A.2cm2B.2cm2C.4cm2D.8cm22.(2013新课标全国卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8B.8+8C.16+16D.8+163.(2013广州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是一个正三角形,则该几何体的外接球的表面积为()A.33B.163C.263D.323274.(2013大同模拟)如图1,边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,将ADE,CDF,BEF折起,使A,C,B三点重合于G,所得三棱锥G-DEF的俯视图如图2,则该三棱锥正视图的面积为()A.12B.23C.223D.225.(2013广东高考)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.4B.143C.163D.6二、填空题6.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是.7.(2013江苏高考)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=.8.(2013重庆模拟)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m),则该棱锥的体积是m3.三、解答题9.下列三个图中,左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图.右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图.(1)请在正(主)视图的下方,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程).(2)求该多面体的体积(尺寸如图).10.已知四面体ABCD(图1),将其沿AB,AC,AD剪开,展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1,A2,A3重合于四面体的顶点A).(1)证明:ABCD.(2)当A1D=10,A1A2=8时,求四面体ABCD的体积.11.如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ACBC,D为侧棱PC的中点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.(1)证明:AD平面PBC.(2)求三棱锥D-ABC的体积.(3)在ACB的平分线上确定一点Q,使得PQ平面ABD,并求此时PQ的长.答案解析1.【解析】选B.由俯视图可知,该四面体可看作如图所示的正方体中的一个几何体AMNC,该正方体的棱长为2,故四面体的主视图为三角形,其面积为12222=22(cm2).2.【解题提示】观察三视图,根据三视图确定几何体的构成,利用圆柱及长方体的体积公式求解.【解析】选A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为12224+224=16+8.3.【解析】选B.由题意知,外接球球心在侧视图的高上,设为O,半径为r,则r2=(3-r)2+1,解得r=233,从而S=4r2=163.4.【解析】选B.设正视图的高为h,VG-DEF=VD-GEF=13122322h=1312112,得h=23,所以正视图S=22312=23.5.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形,两底面边长和高分别为1,2,2,V棱台=13(S上+S下+S上S下)h=13(1+4+14)2=143.6.【解析】由三视图可知,四棱锥的高为2,底面为直角梯形ABCD.其中DC=2,AB=3,BC=3,所以四棱锥的体积为13(2+3)322=533.答案:533【误区警示】解答本题时易因不能确定四棱锥的底面边长而无法求解.7.【解析】设三棱柱的底面ABC的面积为S,三棱柱的高为h,则其体积为V2=Sh.因为D,E分别为AB,AC的中点,所以ADE的面积等于14S,又因为F为AA1的中点,所以三棱锥F-ADE的高等于12h,于是三棱锥F-ADE的体积V1=1314S12h=124Sh=124V2,故V1V2=124.答案:1248.【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,高为2m,底面积为1222=2(m2).所以其体积为1322=43(m3).答案:439.【解析】(1)作出俯视图如图所示.(2)依题意,该多面体是由一个正方体(ABCD-A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱锥体积VE-A1B1D1=13SA1B1D1A1E=1312221=23,正方体体积V正方体AC1=23=8,所以所求多面体的体积V=8-23=223.【变式备选】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明:EF平面PAD.(2)求三棱锥E-ABC的体积V.【解析】(1)在PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,所以EFBC.又BCAD,所以EFAD,又因为AD平面PAD,EF平面PAD,所以EF平面PAD.(2)过E作EGPA交AB于点G,则EG平面ABCD,且EG=12PA.在PAB中,AP=AB,PAB=90,BP=2,所以AP=AB=2,EG=22.所以SABC=12ABBC=1222=2,所以V=13SABCEG=13222=13.10.【解析】(1)在四面体ABCD中,ABAC,ABAD,ACAD=AAB平面ACDABCD.(2)在题图2中作DEA2A3于E.因为A1A2=8,所以DE=8.又因为A1D=A3D=10,所以EA3=6,A2A3=10+6=16.又A2C=A3C,所以A3C=8,即题图1中AC=8,AD=10,由A1A2=8,A1B=A2B得题图1中AB=4,所以SACD=SA3CD=12DEA3C=1288=32.又因为AB平面ACD,所以VB-ACD=13324=1283.11.【解析】(1)因为PA平面ABC,所以PABC,又ACBC,PAAC=C,所以BC平面PAC,所以BCAD.由三视图可得,在PAC中,PA=AC=4,且D为PC中点,所以ADPC,又BCPC=C,所以AD平面PBC.(2)由三视图可得BC=4,由(1)知ADC=90,BC平面PAC,又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积,所以,所求三棱锥的体积V=131222224=163.(3)取AB的中点O,连接CO并延长至Q,使得CQ=2CO,点Q