高三数学第一轮《双曲线》讲义

双曲线要点梳理1双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a0，c0；(1)当_ ac_时，P点不存在这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值 (2)2a|F1F2|时，动点轨迹不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)1双曲线中a，b，c的关系区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2双曲线中有一个重要的RtOAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c易见c2a2b2，若记AOB，则e2渐近线与离心率1 (a0，b0)的一条渐近线的斜率为可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e(0,1)3与渐近线有关的性质：焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭的双曲线或放大后共轭的双曲线与双曲线1共用渐近线的双曲线的方程可设为t (t0)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程0就是双曲线1的两条渐近线方程双曲线1 (a0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx实轴长和虚轴长相等的双曲线为_等轴双曲线_，其渐近线方程为_yx _，离心率为_ e_ 4直线与双曲线的位置关系：直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况 基础自测1双曲线2x2y28的实轴长是()A2 B2C4 D41C2x2y28， 1， a2，2a4.2已知双曲线1 (b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则等于()A12 B2C0 D43设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A. B. C2 D33B设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|AB|，依题意4a，2，e212，e.4已知点F1(4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方程是_1 (x3)_ _5双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_6已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_7已知双曲线1 (a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_1_8若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 () A B5 CD29已知点(m，n)在双曲线8x23y224上，则2m4的范围是_(，4242，)10已知A(1,4)，F是双曲线1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|PA|的最小值解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|2a|PF1|4|PF1|，|PF|PA|4|PF1|PA|.当满足|PF1|PA|最小时，|PF|PA|最小由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|PA|最小，易求得最小值为|AF1|5，故所求最小值为9.双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程(2)待定系数法，其步骤是：定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数题型一双曲线的标准方程例1(1)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3,2)求双曲线的标准方程； 解(1)设所求双曲线方程为 (0)，将点(3,2)代入得，所求双曲线方程为，即1.(2)已知双曲线与椭圆1的焦点相同，且它们的离心率之和等于，则双曲线的方程为_1解析由于在椭圆1中，a225，b29，所以c216，c4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，4)，离心率e.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，4)，且其离心率等于2.故设双曲线的方程为1 (a0，b0)，且c4，所以ac2，a24，b2c2a212，于是双曲线的方程为1.探究提高求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程为axby0，可设双曲线方程为a2x2b2y2 (0)变式训练1根据下列条件，求双曲线方程：(1)若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是(，0)，求双曲线的方程；(1)x21 (2)已知双曲线的渐近线方程为yx，并且焦点都在圆x2y2100上，求双曲线的方程 (2)1或1题型二双曲线的定义及应用例2已知定点A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，所以|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中a表示椭圆的长半轴)所以|FA|CA|FB|CB|.所以|FA|FB|CB|CA|2.所以|FA|FB|2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上所以点F的轨迹方程是y21 (y1)探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性变式训练2 已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切，与圆C2：(x4)2y22内切，求动圆圆心M的轨迹方程解设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2，又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8.21解(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚轴长分别为m、n，则，解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.变式训练3 (1)如图，已知F1、F2为双曲线1 (a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230，求：(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程(1)(2)yx (2)已知点P是双曲线的一个交点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，PF2F1=2PF1F2，则该双曲线的离心率为ABC2D题型四直线与双曲线的位置关系例4过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|； (2)求AOB的面积； (3)求证：|AF2|BF2|AF1|BF1| (1)解由双曲线的方程得a，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.(2)解直线AB的方程变形为x3y30.原点O到直线AB的距离为d.SAOB|AB|d.(3)证明如图，由双曲线的定义得|AF2|AF1|2，|BF1|BF2|2，|AF2|AF1|BF1|BF2|，即|AF2|BF2|AF1|BF1|.探究提高双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|x1x2|变式训练4 直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由解(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是2k.(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)则由FAFB得：(x1c)(x2c)y1y20.即(x1c)(x2c)(kx11)(kx21)0.整理得(k21)x1x2(kc)(x1x2)c210. 把式及c代入式化简得5k22k60.解得k或k(2，)(舍去)，可知存在k使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k 由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20) x0由题意，得1，解得k2当k2时，方程成为2x24x30162480，方程没有实数解不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点题型五 双曲线综合 例5 已知双曲线C的方程为 离心率e=，顶点到渐近线的距离为 。 (1)求双曲线C的方程； (2)P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限.若 , ,2，求AOB面积的取值范围. 解：(1)由题意知，双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为所以 即由 得所以双曲线C的方程为 (2)设直线AB的方程为y=kx+m.由题意知|k|0. 由得A点的坐标为 由得B点的坐标为由 得P点的坐标为 将P点坐标代入 得 设Q为直线AB与y轴的交点, 则Q点的坐标为(0,m). 记由S()=0，得=1,又当=1时，AOB的面积取得最小值2变式训练5 已知双曲线C：y21.求双曲线C的渐近线方程； 已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点记，求的取值范围解 因为a，b1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为yx0，yx0. 设P点坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(x0，y0)，(x0，y01)(x0，y01)xy1x2.|x0|，的取值范围是(，1双曲线练习（1）一、选择题1双曲线中心在原点，且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是() A.y21 Bx21 C.1 D.12设点P在双曲线1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|PF2|13，则F1PF2的周长等于()A22 B16 C14 D123若双曲线1 (a0，b0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是()Ayx Byx Cyx Dy2x4设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 ()A. B. C2 D35已知点F1(，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是()A. B. C. D26设F1、F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且0，则|等于()A. B2 C. D2二、填空题7已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为_1或1_8如图，点P是双曲线1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|F2M|_ b2_.9设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_16_.解析由已知条件有52m9，所以m16.10设圆过双曲线1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为_三、解答题11根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线1有共同的渐近线，且经过点(3，2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)解(1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为1，由题意，得解得a2，b24.(4分)所以双曲线的方程为x21.方法二设所求双曲线方程 (0)，将点(3,2)代入得，所以双曲线方程为，即x21.(2)设双曲线方程为1.由题意c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为1.12设A，B分别为双曲线1 (a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解(1)由题意知a2，一条渐近线为yx，即bxay0，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0，将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则 x1x216，y1y212，t4，点D的坐标为(4，3)双曲线练习（2）一、选择题1双曲线1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是()A相交 B相离 C相切 D内含2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3,0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29. 由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.3过双曲线1 (a0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()A. B. C2 D.4已知点F是双曲线1 (a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2) C(1,1) D(2，)5若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21 (a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，) C. D.二、填空题6已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_7设双曲线C：1 (a0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线yx交于点A(不同于O点)，则OAF的面积为_ ab _8设点F1，F2是双曲线x21的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积为_3_9已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_10已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点若ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且AF1F2，BF1F2的面积之比SAF1F2SBF1F221，则双曲线的离心率为_三、解答题11设圆C与两圆(x)2y24，(x)2y24中的一个内切，另一个外切(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求|MP|FP|的最大值及此时点P的坐标解(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.圆(x)2y24的圆心为F1(，0)，半径为2，圆(x)2y24的圆心为F(，0)，半径为2.由题意得或|CF1|CF|4. |F1F|24.圆C的圆心轨迹是以F1(，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为y21. (2)由图知，|MP|FP|MF|，当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|FP