高三数学数形结合思想人教

高三数学数形结合思想 数形结合思想是中学数学的一种重要思想,数形结合法是中学解题的一个重要方法,它将抽象的代数问题巧妙的通过图型联系起来,见图知义以几何图形的直观和问题的几何意义来启发、引导读者的思维,从而寻找出解题的捷径,从根本上直观、形象、巧妙地解决问题。本文通过对几种常见题型的讲解,试图使读者能有所悟。 一.参数范围的确定 例：直线与曲线有两个交点,求b的取值范围。分析与解:本题的常规思路是：联立直线和曲线方程,在内,方程 思路是十分清晰的,但由于解题过程比较复杂,一般不宜采用。by下面介绍一种数形结合的思想来解。根据题意作出图形：(注意C同时，可以看作平移而来。(1,0)xO由图形可以比较直观的得到b的两种临界情况：直线过点(1,0)时,：直线和曲线(半圆)相切于 c点,利用点到直线的距离公式得： 所以。注意：临界点不能取到。 点评:数形结合方法的应用将本题从抽象的代数问题转化成为几何问题,从而克服了代数方法求解本题的复杂,使抽象问题形象化、具体化、简单化。二.解(根)个数的判定例:试判断,关于x的方程 (a0,a1)的解的个数( )。A 0 B 1 C. 2 D. 4分析与解:求解此类问题的一般思路是：、解出方程后判断（显然对本题不适用）、化简、变形后若是二次型方程可利用判别式与零的大小关系判断等。实际上对于任一关于x的方程,判断解的个数,实质是看曲线和x轴的交点个数,由此可知：判断 (a0,a1)的解的个数即是两个图形的交点的个数,不妨令,作出草图：uyX=1X=1y2u211vv0x0x由图易知不论还是, 均有两个交点,即该方程有两个根。所以本题选C。三.求值域(最值)例:已知两点A(-2,0)，B(0,2),点是圆上的任一点，则三角形ABC面积的最小值是（）。A. B C D 分析与解:求解此题的常规思想是先建立三角形面积的函数表达式,然后求出最值,但无论使用,还是等其他公式都不便于直接得出三角形面积的表达式。y下面我们利用数形结合的思想求解，依据题意作出草图：B (0,2)CA (-2,0)O Ox其中：圆即为：将AB视为三角形的底边,顶点在圆上移动,三角形的高可看作C到AB的距离（本题思想方法的关键）。将AB向圆方向平移,知当AB与圆第一次相切时,第二次相切时,计算出第一次相切时直线的方程为：由平行直线间距离公式。点评：数形结合思想的运用使本题不易直接表示出的三角形面积的函数表达式转化为直接利用图形求出底和高来求解。例:求函数的值域。P(2,3)分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆yA连线的斜率问题,作出图形观察易得：最值在直线OBx和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得：注意：如果存在分母为零的情况在解题时应加以注意临界点可以取到。点评：本题从函数本身的形式入手,引入直线的斜率,结合图形,从而使问题得到巧解。例:试求函数的最小值。y分析与解:根据题意函数 变形得：由此很容易联想到两点间距离公式,从而使问题转化为求轴上动点到两定点的距离之和,结合图形知：B(-3,4)A(1,2)P0x(1,-2)点的坐标为时，最小，。点评:本题利用数形结合的思想将问题本身和几何意义联系起来,从而使问题转化求动点到两定点的距离之和使问题得到解决。配套练习:1. 若对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )。A B C D 2. 函数在区间上是增函数,则的范围是( )。A B C D 3. 若关于的不等式的解集是空集,则的范围是( )。A B C D 4. 试求函数的值域。5. 实数满足,试求的最大最小值。6. 求函数的最小值,并求此时相应的值。7. 直线与曲线的交点个数是( )。A 1 B 2 C 3 D 48. 直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,试确定实数的取值范围。答案及部分提示1.C 利用数形结合的思想,将不等式的两边分别看成一个函数来解。2. B3. C 结合图形将题意转化为数轴上的动点到两点的距离之和小于。4. 利用斜率的几何意义。5.B根据题意求的最大最小值其实质是原点和圆上点连线斜率的最大最小值. 说明：此思想方法可以推广到