高考数学二轮复习 专题四 数列 4.1 等差数列与等比数列课件 理1.pptVIP

4 1等差数列与等比数列 2 3 4 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 等差数列与等比数列的基本量的求解 思考 如何求解等差数列与等比数列的基本量 例1 2017全国 理4 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8 答案 解析 5 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思等差数列 等比数列的通项公式 求和公式中一共包含a1 n d q an与sn这五个量 如果已知其中的三个 就可以求其余的两个 因为a1 d q 是两个基本量 所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量 然后根据通项公式 求和公式构建这两者的方程 组 通过解方程 组 求其值 这也是方程思想在数列问题中的体现 6 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练1 1 2017全国 理3 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座7层塔共挂了381盏灯 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍 则塔的顶层共有灯 a 1盏b 3盏c 5盏d 9盏 2 2017全国 理14 设等比数列 an 满足a1 a2 1 a1 a3 3 则a4 答案 解析 7 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 等差数列与等比数列的判定与证明 思考 证明数列 an 是等差数列或等比数列的基本方法有哪些 例2已知 an 是各项均为正数的等差数列 公差为d 对任意的n n bn是an和an 1的等比中项 答案 8 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思1 证明数列 an 是等差数列的两种基本方法 1 利用定义 证明an 1 an n n 为常数 2 利用等差中项 证明2an an 1 an 1 n 2 2 证明数列 an 是等比数列的两种基本方法 9 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练2 2017北京 理20 设 an 和 bn 是两个等差数列 记cn max b1 a1n b2 a2n bn ann n 1 2 3 其中max x1 x2 xs 表示x1 x2 xs这s个数中最大的数 1 若an n bn 2n 1 求c1 c2 c3的值 并证明 cn 是等差数列 2 证明 或者对任意正数m 存在正整数m 当n m时 m 或者存在正整数m 使得cm cm 1 cm 2 是等差数列 10 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 1 解 c1 b1 a1 1 1 0 c2 max b1 2a1 b2 2a2 max 1 2 1 3 2 2 1 c3 max b1 3a1 b2 3a2 b3 3a3 max 1 3 1 3 3 2 5 3 3 2 当n 3时 bk 1 nak 1 bk nak bk 1 bk n ak 1 ak 2 n 0 所以bk nak关于k n 单调递减 所以cn max b1 a1n b2 a2n bn ann b1 a1n 1 n 所以对任意n 1 cn 1 n 于是cn 1 cn 1 所以 cn 是等差数列 11 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 12 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 13 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案 解析 等差数列与等比数列性质的应用 思考 常用的等差 等比数列的性质有哪些 14 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关 解题需多注意观察 发现其联系 加以应用 1 等差数列的性质 an am n m d n m n 若m n p q 则am an ap aq m n p q n 设等差数列 an 的前n项和为sn 则sm s2m sm s3m s2m 也成等差数列 2 等比数列的性质 an amqn m m n n 若m n p q 则am an ap aq m n p q n 若等比数列 an 的公比不为 1 前n项和为sn 则sm s2m sm s3m s2m 也成等比数列 15 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案 解析 16 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 等差数列 等比数列的综合问题 思考 解决等差数列 等比数列的综合问题的基本思路是怎样的 例4 2017山东 理19 已知 xn 是各项均为正数的等比数列 且x1 x2 3 x3 x2 2 1 求数列 xn 的通项公式 2 如图 在平面直角坐标系xoy中 依次连接点p1 x1 1 p2 x2 2 pn 1 xn 1 n 1 得到折线p1p2 pn 1 求由该折线与直线y 0 x x1 x xn 1所围成的区域的面积tn 17 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解 1 设数列 xn 的公比为q 由已知q 0 所以3q2 5q 2 0 因为q 0 所以q 2 x1 1 因此数列 xn 的通项公式为xn 2n 1 18 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 2 过p1 p2 pn 1向x轴作垂线 垂足分别为q1 q2 qn 1 由 1 得xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1 记梯形pnpn 1qn 1qn的面积为bn 所以tn b1 b2 bn 3 2 1 5 20 7 21 2n 1 2n 3 2n 1 2n 2 又2tn 3 20 5 21 7 22 2n 1 2n 2 2n 1 2n 1 得 tn 3 2 1 2 22 2n 1 2n 1 2n 1 19 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练4等差数列 an 的前n项和为sn 已知s10 0 s15 25 则nsn的最小值为 答案 解析 20 规律总结 拓展演练 1 等差数列 等比数列的基本运算 一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d a1与q的方程 组 解决 在求解过程中灵活运用等差数列 等比数列的性质 不仅可以快速获解 而且有助于加深对等差数列 等比数列问题的认识 2 解决等差数列 an 前n项和问题常用的三个公式是 sn an2 bn a b为常数 灵活地选用公式 解决问题更便捷 3 等差数列和等比数列的中项 前n项和都有一些类似的性质 充分利用性质可简化解题过程 4 证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法 21 规律总结 拓展演练 5 等差数列 等比数列的通项公式 求和公式有多种形式的变形 在求解相关问题时 要根据条件灵活选择相关公式 同时两种数列可以相互转化 如等差数列取指数函数之后即为等比数列 正项等比数列取对数函数之后即为等差数列 1 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97 22 规律总结 拓展演练 答案 解析 23 规律总结 拓展演练 2 已知等比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7 a 21b 42c 63d 84 答案 解析 24 规律总结 拓展演练 3 2017江苏 9 等比数列 an 的各项均为实数 其前n项和为sn 已知 答案 解析 25 规律总结 拓展演练 答案 解析 4 2017北京 理10 若等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a4 b4 8 则 26 规律总结 拓展演练 5 2017江苏 19 对于给定的正整数k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数n n k 总成立 则称数列 an 是 p k 数列 1 证明 等差数列 an 是 p 3 数列 2 若数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 证明 an 是等差数列 证明 1 因为 an 是等差数列 设其公差为d 则an a1 n 1 d 从而 当n 4时 an k an k a1 n k 1 d a1 n k 1 d 2a1 2 n 1 d 2an k 1 2 3 所以an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 因此等差数列 an 是 p 3 数列 27 规律总结 拓展演练 2 数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 因此 当n 3时 an 2 an 1 an 1 an 2 4an 当n 4时 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 由 知