高中数学第三章三角恒等变换3.1和角公式3.1.3两角和与差的正切示范教案.docx

3.1.3两角和与差的正切示范教案教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来，单独作为一节，这对学生的自主探究学习提供了平台因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，对其应用学生有了一定的理解，同时对于三角函数变形中，角的变换也有了一定的掌握，因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移，更多地让学生自主学习，独立地推导两角和与差的正切公式，为学生提供进一步实践的机会也可以说本节并不是什么新的内容，而是对前面所学知识的整合而已在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神对于公式成立的条件，可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决在学习两角和与差的正切公式中，有许多优美的三角恒等式，它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形之美本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容，教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结，从分析公式的推导过程入手，探究问题解决的来龙去脉，揭示它们的逻辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路三维目标1会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式，能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明2通过两角和与差的正切公式的推导及运用，让学生从中体会转化与化归的思想方法，培养学生用联系变化的观点观察问题，通过学生的互相交流增强学生的合作能力，加强学生对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及应用教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用课时安排1课时导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习，你能否求出tan15的值？学生很容易转化为30、45的正弦、余弦来求教师进一步提出：能否直接利用tan30和tan45来求出tan15呢？由此展开新课，探究两角和与差的正切公式思路2.(直接导入)在研究了和与差角的正弦、余弦与单角、的正弦、余弦间的关系后，能否探究出tan()与tan、tan间的关系？是否与sin()公式相似？如何推导呢？由此展开新课，揭示课题推进新课(1)利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15的值，那么怎样直接利用tan30和tan45来求出tan15呢？(2)利用所学两角和与差的公式，对比分析公式C、C、S、S，能否推导出tan()？tan()？(3)分析观察公式T、T的结构特征与正、余弦公式有什么不同？(4)前面两角和与差的正、余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？活动：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C、C、S、S，可以完全让学生自己进行探究tan()，tan()究竟如何，教师只是适时地点拨就行了通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以coscos即可得到，在这一过程中学生很可能想不到讨论coscos等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果对coscos讨论如下：当cos()0时，tan().若coscos0，即cos0且cos0时，分子分母同除以coscos，得tan().根据角、的任意性，在上面的式子中，用代之，则有tan().由此推得两角和与差的正切公式，简记为“T、T”tan()(T)，tan()(T)我们把公式T、T分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过程可以知道、有一定的取值范围，即k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)，这样才能保证tan()与tan，tan都有意义教师应留出一定的时间让学生回味、反思探究过程，点明推导过程的关键是：tan()sin()，cos()sin、sin、cos、costan、tan.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面：公式成立的条件是什么？(提示学生从公式的形式和推导过程看)tan、tan、tan()都有意义，且1tantan0；注意公式的形式：公式右边分子是单角、正切的和与差，分母是1减(或加)单角、正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同，公式右边分母的符号与分子的符号相反；公式的作用：将复角的正切化为单角、的正切形式，用于角的变换(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明至此，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，统一叫做三角函数的和差公式一般地，我们把公式S，C，T都叫做和角公式，而把公式S，C，T都叫做差角公式要让学生明晰这六个公式的推导过程，清晰逻辑关系主线可让学生自己画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用如两角和与差的正切公式的变形式：tantantan()(1tantan)，tantantan()(1tantan)，在化简求值中就经常用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力对于两角和与差的正切公式，当tan，tan或tan()的值不存在时，不能使用T处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan()，因为tan的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式tan()来处理讨论结果：(1)(4)略例 1已知tan2，tan，其中0，.(1)求tan()；(2)求的值活动：本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤让学生养成良好的习惯：由三角函数值求角必先找出所求角的范围解：(1)因为已知tan2，tan，所以tan()7.(2)因为tan()1，又因为0，所以.在与之间，只有的正切值等于1，所以.例 2求下列各式的精确值(1)tan75；(2).解：(1)tan75tan(4530)2；(2)tan(1743)tan60.点评：本例体现了对公式全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识.变式训练1不查表求tan105的值解：tan105tan(6045)2.2不查表，计算：(1)tan22tan23tan22tan23；(2)tan17tan43tan17tan30tan43tan30.解：(1)原式tan(2223)(1tan22tan23)tan22tan23tan45(1tan22tan23)tan22tan231.(2)原式tan17tan43tan30(tan17tan43)tan17tan43tan30tan(1743)(1tan17tan43)tan17tan43tan30tan60(1tan17tan43)1.例 3若tan()，tan()，求tan()的值解：因为()()，所以tan()tan()().点评：本题是典型的变角问题，就是把所求角利用已知角来表示，具有一定的拆角技巧，这就需要教师巧妙地引导，让学生亲自动手进行角的变换，使之明白此类变角的技巧，从而培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知tan，cos，(0，)(1)求tan()的值；(2)求函数f(x)sin(x)cos(x)的最大值解：(1)由cos，(0，)，得tan2，sin，所以tan()1.(2)因为tan，(0，)，所以sin，cos.f(x)sinxcosxcosxsinxsinx，所以f(x)的最大值为.例 4已知45，求(1tan)(1tan)的值解：45，tan()tan451.又tan()，tantantan()(1tantan)，即tantan1tantan.原式1tantantantan1(1tantan)tantan2.点评：本题是公式的变形应用，当出现为特殊角时，就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tantantan()(1tantan)，这个变形式子对我们解题很有用处解完后留出一定的时间让学生认真总结反思，熟练掌握其变化的思想方法.变式训练1求(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)(1tan45)的值解：原式(1tan1)(1tan44)(1tan2)(1tan43)(1tan22)(1tan23)(1tan45)2222223.2计算：tan15tan30tan15tan30.解：原式tan45(1tan15tan30)tan15tan301.本节课主要学习的是：推导了两角和与差的正切公式；研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用；学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对“转化”数学思想方法的理解，通过例题我们对公式不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式课本本节习题31A组13B组13.1因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续，也注意了复习巩固两角和差公式设计意图在于深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力2对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思考、探究解法，然后教师再进行必要的点评重在理清思路，纠正错误，点拨解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型备用习题1若tan2，tan()3，则tan(2)的值为()A1 B C. D.2tan30tan15tan15tan30的值等于()A. B. C. D13._.4已知tan110a，则tan50的值为_5若tanx，则x_.6已知sin，cos，且，的终边在同一象限，求tan()的值7若3sinxcosx2sin(x)且(0，)，求tan()的值8在平面直角坐标系中，点P在以原点O为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP与以O为圆心、2为半径的圆交于R点，过P作x轴的垂线，垂足为M，过R作PM的垂线，垂足为Q，求POQ的最大值参考答案：1D2.D3.4.5.25k180(kZ)6.7分析：如何求是本题的关键解：3sinxcosx2(sinxcosx