高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第14讲 导数在函数中的应用课件 理.pptVIP

第14讲 导数在函数中的应用 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 1 函数的单调性 函数y f x 在 a b 内可导 则 1 若f x 0 则f x 在 a b 内单调递增 2 若f x 0 则f x 在 a b 内 2 函数的极值 1 判断f x0 是极值的方法 一般地 当函数f x 在点x0处连续时 单调递减 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧 右侧 那 么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程f x 0的根 检查f x 在方程f x 0的根的左 右值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 如果左右两侧符号一样 那么这个根不是极值点 极小值 3 函数的最值 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断 的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 若函数f x 在 a b 上单调递增 则f a 为函数的最小 值 f b 为函数的最大值 若函数f x 在 a b 上单调递减 则f a 为函数的最大值 f b 为函数的最小值 3 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各 与端点值比较 其中最大的 一个是最大值 最小的一个是最小值 极值 1 f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 c a 2 b 0 c 2 d 4 2 2013年广州二模 已知e为自然对数的底数 函数y xex的单调递增区间是 a 1 c 1 b 1 d 1 a 3 2013年河南郑州模拟 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图象如图2 14 1 则函数f x 在 a b 内的极大值点有 图2 14 1 a 1个 b 2个 c 3个 d 4个 4 函数f x x3 3x2 1在x 处取得极小值 b 2 考点1 函数的单调性与极值 1 求a的值 2 求函数f x 的单调区间与极值 解得x 1 舍 或x 5 当x 0 5 时 f x 0 函数f x 单调递增 因此 函数f x 在x 5时取得极小值 且极小值为f 5 ln5 规律方法 1 求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯 可使问题直观且有条理 减少失分的可能 如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个 这些区间之间一般不能用并集符号 连接 只能用 或 和 字隔开 2 f x 0 或f x 0 是 函数f x 在某区间上为增函数 或减函数 的充分不必要条件 f x0 0 是 函数f x 在x x0处取得极值 的必要不充分条件 互动探究 1 函数f x 在x x0处的导数存在 若命题p f x0 0 命题q x x0是f x 的极值点 则p是q的 c a 充分必要条件c 必要不充分条件 b 充分不必要条件d 既不充分也不必要条件 解析 若x x0是f x 的极值点 则f x0 0 若f x0 0 而x x0不一定是f x 的极值点 如f x x3 当x 0时 f 0 0 但x 0不是极值点 故p是q的必要不充分条件 故选c 考点2 函数的最值 1 若f x 在x 2处的切线与直线3x 2y 1 0平行 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 1 e 上的最小值 令f x 0 得x 1 f x 与f x 的情况如下表 所以f x 的单调递减区间是 0 1 单调递增区间是 1 规律方法 求函数的最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要对函数y f x 的各极值与端点值进行比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 互动探究 考点3 利用导数解决函数中的恒成立问题 1 若a 3 试确定函数f x 的单调区间 2 若f x 在其图象上任一点 x0 f x0 处的切线斜率都小于2a2 求实数a的取值范围 由f x 3 所以函数f x 的单调递增区间为 1 3 单调递减区间为 1 和 3 2 因为f x x2 2x a 由题意 得f x x2 2x a 2a2对任意x r恒成立 即 x2 2x 2a2 a对任意x r恒成立 设g x x2 2x 所以g x x2 2x x 1 2 1 所以当x 1时 g x 有最大值为1 因为对任意x r x2 2x 2a2 a恒成立 规律方法 若f x 在其图象上任一点处的切线斜率都小于2a2 即f x x2 2x a 2a2对任意x r恒成立 分离变量得 x2 2x 2a2 a对任意x r恒成立 求 x2 2x的最大值即可 互动探究 3 函数f x a2lnx x2 ax a 0 1 求f x 的单调递增区间 2 若f 1 e 1 求使f x e2对x 1 e 恒成立的实数a的值 注 e为自然对数的底数 2 由f 1 a 1 e 1 即a e 由 1 知 f x 在 1 e 内单调递增 要使f x e2对x 1 e 恒成立 只要f e e2 则a2lne e2 ae e2 即a2 ae 2e2 0 a 2e a e 0 解得a e