高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第八章第3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系课件.ppt

第3课时空间点 直线 平面之间的位置关系 基础梳理1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 两点 2 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 过该点的公共直线 不在一条直线上 有且只有一条 2 空间点 线 面之间的位置关系 a b a 3 异面直线所成的角 1 定义 设a b是两条异面直线 经过空间中任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 锐角 或直角 思考探究1 如果两条直线没有任何公共点 则两条直线为异面直线 此说法正确吗 提示 不正确 如果两条直线没有公共点 则两条直线平行或异面 3 公理4 平行于同一条直线的两条直线 4 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 互相平行 相等或互补 思考探究2 本定理中 这两个角何时相等 何时互补 提示 当这两个角的两边方向相同或方向相反时相等 否则互补 课前热身1 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是 a 异面b 平行c 相交d 以上都有可能答案 d 2 已知a b是异面直线 直线c 直线a 则c与b a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线答案 c 3 已知a b c表示不同的点 l表示直线 表示不同的平面 则下列推理错误的是 a a l a b l b l b a a b b abc l a l a d a a l l l a答案 c 4 在正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线ac与b1c1所成的角为 答案 45 5 三条直线两两相交 可以确定 个平面 答案 1或3 证明共线问题 1 可由两点连一条直线 再验证其他各点均在这条直线上 2 可直接验证这些点都在同一条特定的直线上 两相交平面的唯一交线 关键是通过绘出图形 作出两个适当的平面或辅助平面 证明这些点是这两个平面的公共点 正方体abcd a1b1c1d1中 对角线a1c与平面bc1d交于点o ac bd交于点m 求证 点c1 o m共线 证明 如图所示 a1a c1c 则a1a与c1c可确定平面a1c 互动探究1 在本例中 若e f分别为d1c1 b1c1的中点 a1c1 ef q ac bd p a1c 面efbd r 试探究p q r三点是否共线 解 在正方体ac1中 设平面a1acc1为 又设平面bdef为 因为q a1c1 所以q 又q ef 所以q 则q是 与 的公共点 同理 p点也是 与 的公共点 所以 pq 又a1c r 所以r a1c r 且r 则r pq 故p q r三点共线 证明线共点问题一般是证明三条直线交于一点 首先证明其中的两条直线相交于一点 然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线 由公理3可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上 即三条直线交于一点 思路分析 先证e f g h四点共面 再证ef gh交于一点 然后证明这一点在ac上 由公理4知 eh fg 且eh fg 四边形efgh是梯形 eh fg为上 下两底 两腰ef gh所在直线必相交于一点p p 直线ef ef 平面abc p 平面abc 同理可得p 平面adc p在平面abc和平面adc的交线上 又 面abc 面adc ac p 直线ac 故ef gh ac三直线交于一点 思维总结 证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点 然后再证明这一点在第三条直线上 而证明后者 往往是利用这点在两个平面的交线上 互动探究 ef hg 且ef hg 所以四边形efgh为梯形 设eh与fg交于点p 则p 平面abd p 平面bcd 所以p在两平面的交线bd上 所以eh fg bd三线共点 证明若干条线 或若干个点 共面 一般来说有两种途径 一是首先由题目条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证明其余的线 或点 均在这个平面内 二是将所有元素分为几个部分 然后分别确定几个平面 再证这些平面重合 本类题最容易忽视 三线共点 这一种情况 因此 在分析题意时 应仔细推敲问题中每一句话的含义 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点e f分别是棱aa1 cc1的中点 求证 d1 e f b共面 思路分析 连结d1e d1f d1e与da相交 d1f与dc相交 证明两交点与b共线 证明 d1 e f三点不共线 d1 e f三点确定一平面 又由题意可知d1e与da共面于平面a1d且不平行 故分别延长d1e da相交于g 则g 直线d1e 平面 g 同理 设直线d1f与dc的延长线交于点h 则h 平面 又 点g b h均属于平面ac 且由题设条件知e为aa1的中点且ae dd1 从而ag ad ab agb为等腰直角三角形 abg 45 同理 cbh 45 又 abc 90 从而点b d1 e f b共面 名师点评 题中是先说明d1 e f确定一平面 再说明b在所确定的平面内 也可证明d1e bf 从而说明四点共面 判定两条直线是否异面 可依据定义来进行 还可依据定理 过平面外一点与平面内一点的直线 和平面内不经过该点的直线是异面直线 进行 反证法是证明两直线异面的有效方法 求异面直线所成的角的一般步骤是 一作 二证 三计算 作出异面直线所成的角的方法是 平移法 常常使用特殊位置的点 如利用线段的中点或线段的端点等进行平移 利用图中已有的平行线进行平移 利用补形的方法进行平移等 通常将角放在某个三角形中 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 1 am和cn是否是异面直线 说明理由 2 d1b和cc1是否是异面直线 说明理由 3 求a1c1与b1c所成角的大小 思路分析 1 可证得mn ac 故am cn共面 2 利用反证法或定理法 利用a1c1 ac 解 1 不是异面直线 理由 连接mn ac m n分别是a1b1 b1c1的中点 mn a1c1 又 a1a綊c1c a1acc1为平行四边形 a1c1 ac 得到mn ac a m n c在同一平面内 故am和cn不是异面直线 2 是异面直线 证明如下 abcd a1b1c1d1是正方体 b c c1 d1不共面 假设d1b与cc1不是异面直线 则存在平面 使d1b 平面 cc1 平面 d1 b c c1 与abcd a1b1c1d1是正方体矛盾 假设不成立 即d1b与cc1是异面直线 3 如图 连接ab1 由abcd a1b1c1d1是正方体 知aa1c1c为平行四边形 所以ac a1c1 从而b1c与ac所成的角就是a1c1与b1c所成的角 由ab1 ac b1c可知 b1ca 60 即a1c1与b1c所成角为60 名师点评 若从正面入手证明两条直线异面比较困难时 可考虑用反证法 方法技巧1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理3可知这些点在交线上 因此共线 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点b的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 3 求两条异面直线所成角的大小的方法一般方法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 根据空间等角定理及推论可知 异面直线所成角的大小与顶点位置无关 往往将角的顶点取在其中的一条直线上 特别地 可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点 总之 顶点的选择要与已知量有关 以便于计算 具体步骤如下 1 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选在特殊的位置上 2 证明作出的角即为所求角 3 利用三角形来求解 失误防范1 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线 而不是分别在两个平面内 一定要理解定义 2 求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是 0 90 命题预测从近几年的高考试题来看 异面直线所成的角 异面直线的判定是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度为中 低档 客观题主要考查异面直线所成角的概念及求法 考查平移直线法 向量法求异面直线所成的角 主观题主要考查立体几何的有关知识 异面直线所成角的求法及异面直线的判定等 同时还考查了学生的空间想象能力和运算能力 预测2013年福建高考仍将以求异面直线所成的角为主要考查点 重点考查学生的空间想象能力和运算能力 规范解答 本题满分12分 如图 已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内 m n分别为ab df的中点 1 若cd 2 平面abcd 平面dcef 求mn的长 2 用反证法证明 直线me与bn是两条异面直线 由已知 两正方形不共面 故ab 平面dcef 又ab cd 所以ab 平面dcef 而en为平面mben与平面dce